Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1984) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRIN]

Qual das equações abaixo representa à circunferência de centro [tex3](2,\ -1)[/tex3]

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[tex3](2,\ -1)[/tex3]

tangente a reta de equação [tex3]\text{y} = -\text{x} + 4[/tex3]

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[tex3]\text{y} = -\text{x} + 4[/tex3]

?

a) [tex3]9(\text{x}-2)^2 + 9(\text{y}+1)^2 = 2[/tex3]

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[tex3]9(\text{x}-2)^2 + 9(\text{y}+1)^2 = 2[/tex3]

b) [tex3]2(\text{x} +2)^2 + 2(\text{y}-1)^2 = 9[/tex3]

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[tex3]2(\text{x} +2)^2 + 2(\text{y}-1)^2 = 9[/tex3]

c) [tex3]2(\text{x}-2)^2 + 2(\text{y}+1)^2 = 9[/tex3]

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[tex3]2(\text{x}-2)^2 + 2(\text{y}+1)^2 = 9[/tex3]

d) [tex3]4(\text{x}-2)^2 + 4(\text{y}+1)^2 =9[/tex3]

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[tex3]4(\text{x}-2)^2 + 4(\text{y}+1)^2 =9[/tex3]

e) [tex3]4(\text{x}-2)^2 + 4(\text{y}-1)^2 = 9[/tex3]

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[tex3]4(\text{x}-2)^2 + 4(\text{y}-1)^2 = 9[/tex3]

[LucasPinafi]

[tex3]y=-x+4 \Leftrightarrow y+x - 4 = 0 \therefore d(C,r) = \frac{|2-1-4|}{\sqrt{2}}= \frac{3}{\sqrt 2}[/tex3]

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[tex3]y=-x+4 \Leftrightarrow y+x - 4 = 0 \therefore d(C,r) = \frac{|2-1-4|}{\sqrt{2}}= \frac{3}{\sqrt 2}[/tex3]

que é igual ao raio da circunferência. Assim,
[tex3](x-2)^2+(y+1)^2 = \frac{9}{2} \Rightarrow 2(x-2)^2 + 2(y+1)^2 = 9[/tex3]

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[tex3](x-2)^2+(y+1)^2 = \frac{9}{2} \Rightarrow 2(x-2)^2 + 2(y+1)^2 = 9[/tex3]

[VALDECIRTOZZI]

Considere a figura:

geometria analítica.jpg (11.03 KiB) Exibido 4774 vezes

Note que a distância entre o centra da circunferência e a reta é o raio da circunferência.

A equação da reta na forma geral fica:
[tex3]y=-x+4[/tex3]

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[tex3]y=-x+4[/tex3]

[tex3]x=y-4=0[/tex3]

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[tex3]x=y-4=0[/tex3]

E o ponto [tex3](x_0; y_0)=(2;-1)[/tex3]

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[tex3](x_0; y_0)=(2;-1)[/tex3]

Pela equação da distãncia de um ponto à reta:
[tex3]raio=\frac{\left|ax_o+by_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3]

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[tex3]raio=\frac{\left|ax_o+by_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3]

[tex3]raio-\frac{\left| 1\cdot 2+1 \cdot (-1)-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3\sqrt2}{2}[/tex3]

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[tex3]raio-\frac{\left| 1\cdot 2+1 \cdot (-1)-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3\sqrt2}{2}[/tex3]

Pela equação reduzida da circunferência:
[tex3]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2[/tex3]

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[tex3]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2[/tex3]

, onde [tex3]a,b[/tex3]

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[tex3]a,b[/tex3]

são as coordenadas do centro.
[tex3]\left(x-2\right)^2+\left[y-(-1)\right]^2=\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2[/tex3]

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[tex3]\left(x-2\right)^2+\left[y-(-1)\right]^2=\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2[/tex3]

[tex3]\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=\frac{9}{2}[/tex3]

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[tex3]\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=\frac{9}{2}[/tex3]

[tex3]2 \cdot \left(x-2\right)^2+2 \cdot \left(y+1\right)^2=9[/tex3]

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[tex3]2 \cdot \left(x-2\right)^2+2 \cdot \left(y+1\right)^2=9[/tex3]

Espero ter ajudado!