Pré-Vestibular ⇒ (UFES-ES - 2000) Área de figuras planas Tópico resolvido

[viitomtom]

Um terreno em forma de um quadrado de 34 m de lado deve ser aproveitado na construção de um shopping center com 4 lojas triangulares e uma praça de alimentação em forma de trapézio, conforme mostra a figura abaixo. Nessa figura, x representa a medida do lado de uma das lojas para qual a área de praça de alimentação é máxima. Para essa valor de x, o perímetro da praça, em metros, é:

quadrado.png (3.2 KiB) Exibido 5159 vezes

a) 52+34V2
b) 46+37V2
c) 40+40V2
d) 34+43V2
e) 28+46V2

[Palmieri]

Olha, primeiro vamos calcular o "x" pra área da praça de alimentação ser máxima,
depois vamos substituir esse valor de "x" na imagem da questão, para calcularmos o perímetro da praça de alimentação

A área da praça de alimentação é dada pela área do quadrado menos a área das 4 lojas

Área do quadrado = [tex3]34^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]34^{2}[/tex3]

= 1156

Área do triângulo retângulo de lados x e x = [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

O triângulo superior esquerdo, seus catetos são 10 m e (34-x) , logo , a área se dá por [tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3]

= 5(34-x)

O triângulo superior direito tem catetos 24 e 24 , área é [tex3]\frac{24^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{24^{2}}{2}[/tex3]

= 288

Triângulo inferior direito tem catetos 10 e (34-x) , mesmo caso do triângulo superior esquerdo : [tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3]

= 5(34-x)

somando as áreas dos triângulos : 5(34-x) + 5(34-x) + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

10(34-x) + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

340 -10x + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

- 10x + 628

agora temos que diminuir isso da área do quadrado, que é

1156 - [[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]

- 10x + 628]

ficando

-[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3] + 10x + 528 = A(x) essa é a área da praça de alimentação, que tem que ser a máxima possível

mutiplicando por 2 : -[tex3]x^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2}[/tex3]

+20x + 1056 = 2A(x)

você pode resolver de dois jeitos, tirando o delta e achando as raízes. O valor máximo dessa função, vai ser pra

x = [tex3]\frac{(x1+x2)}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(x1+x2)}{2}[/tex3]

sendo x1 e x1 as raízes da equação,

poupandos cálculos, as raízes são -24 e 44, logo, o x pro valor ser máximo será [tex3]\frac{(44-24)}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(44-24)}{2}[/tex3]

= 10

ou você pode derivar e igualar à 0, porque a derivada no ponto máximo tem valor = 0

derivando -[tex3]x^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2}[/tex3]

+20x + 1056 = 0 fica :

-2x +20 = 0

x = 10, esse é o valor x que torna a área da praça de alimentação máxima,

substituindo o x no valor da imagem da equação, o perímetro ficará assim :

111.png (7.01 KiB) Exibido 5154 vezes

26 + 26 + 24 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

+ 10 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

= 52 + 34 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

bom, desculpa por ter ficado um pouco grande, acho que é isso, qualquer coisa me avisa, abraços !

[viitomtom]

Desculpa por nada muito obrigado por me ajudar... mas eu tenho uma duvida pq vc multiplicou a função que resultou das áreas [tex3]\( -\frac{x^{2}}{2} + 10x + 528 = A(x)\)[/tex3]

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[tex3]\( -\frac{x^{2}}{2} + 10x + 528 = A(x)\)[/tex3]

por 2???

[Palmieri]

Ah sim, foi só pra melhorar as contas, tirar aquela fração do [tex3]\frac{-x^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{-x^{2}}{2}[/tex3]