Um terreno em forma de um quadrado de 34 m de lado deve ser aproveitado na construção de um shopping center com 4 lojas triangulares e uma praça de alimentação em forma de trapézio, conforme mostra a figura abaixo. Nessa figura, x representa a medida do lado de uma das lojas para qual a área de praça de alimentação é máxima. Para essa valor de x, o perímetro da praça, em metros, é:
a) 52+34V2
b) 46+37V2
c) 40+40V2
d) 34+43V2
e) 28+46V2
Pré-Vestibular ⇒ (UFES-ES - 2000) Área de figuras planas Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2016
26
17:47
(UFES-ES - 2000) Área de figuras planas
Última edição: viitomtom (Sex 26 Fev, 2016 17:47). Total de 2 vezes.
Fev 2016
26
22:31
Re: (UFES-ES - 2000) Área de figuras planas
Olha, primeiro vamos calcular o "x" pra área da praça de alimentação ser máxima,
depois vamos substituir esse valor de "x" na imagem da questão, para calcularmos o perímetro da praça de alimentação
A área da praça de alimentação é dada pela área do quadrado menos a área das 4 lojas
Área do quadrado = [tex3]34^{2}[/tex3] = 1156
Área do triângulo retângulo de lados x e x = [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
O triângulo superior esquerdo, seus catetos são 10 m e (34-x) , logo , a área se dá por [tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3] = 5(34-x)
O triângulo superior direito tem catetos 24 e 24 , área é [tex3]\frac{24^{2}}{2}[/tex3] = 288
Triângulo inferior direito tem catetos 10 e (34-x) , mesmo caso do triângulo superior esquerdo : [tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3] = 5(34-x)
somando as áreas dos triângulos : 5(34-x) + 5(34-x) + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
10(34-x) + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
340 -10x + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3] - 10x + 628
agora temos que diminuir isso da área do quadrado, que é
1156 - [[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3] - 10x + 628]
ficando
-[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3] + 10x + 528 = A(x) essa é a área da praça de alimentação, que tem que ser a máxima possível
mutiplicando por 2 : -[tex3]x^{2}[/tex3] +20x + 1056 = 2A(x)
você pode resolver de dois jeitos, tirando o delta e achando as raízes. O valor máximo dessa função, vai ser pra
x = [tex3]\frac{(x1+x2)}{2}[/tex3]
sendo x1 e x1 as raízes da equação,
poupandos cálculos, as raízes são -24 e 44, logo, o x pro valor ser máximo será [tex3]\frac{(44-24)}{2}[/tex3] = 10
ou você pode derivar e igualar à 0, porque a derivada no ponto máximo tem valor = 0
derivando -[tex3]x^{2}[/tex3] +20x + 1056 = 0 fica :
-2x +20 = 0
x = 10, esse é o valor x que torna a área da praça de alimentação máxima,
substituindo o x no valor da imagem da equação, o perímetro ficará assim :
26 + 26 + 24 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] + 10 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] = 52 + 34 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
bom, desculpa por ter ficado um pouco grande, acho que é isso, qualquer coisa me avisa, abraços !
depois vamos substituir esse valor de "x" na imagem da questão, para calcularmos o perímetro da praça de alimentação
A área da praça de alimentação é dada pela área do quadrado menos a área das 4 lojas
Área do quadrado = [tex3]34^{2}[/tex3] = 1156
Área do triângulo retângulo de lados x e x = [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
O triângulo superior esquerdo, seus catetos são 10 m e (34-x) , logo , a área se dá por [tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3] = 5(34-x)
O triângulo superior direito tem catetos 24 e 24 , área é [tex3]\frac{24^{2}}{2}[/tex3] = 288
Triângulo inferior direito tem catetos 10 e (34-x) , mesmo caso do triângulo superior esquerdo : [tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3] = 5(34-x)
somando as áreas dos triângulos : 5(34-x) + 5(34-x) + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
10(34-x) + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
340 -10x + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3] - 10x + 628
agora temos que diminuir isso da área do quadrado, que é
1156 - [[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3] - 10x + 628]
ficando
-[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3] + 10x + 528 = A(x) essa é a área da praça de alimentação, que tem que ser a máxima possível
mutiplicando por 2 : -[tex3]x^{2}[/tex3] +20x + 1056 = 2A(x)
você pode resolver de dois jeitos, tirando o delta e achando as raízes. O valor máximo dessa função, vai ser pra
x = [tex3]\frac{(x1+x2)}{2}[/tex3]
sendo x1 e x1 as raízes da equação,
poupandos cálculos, as raízes são -24 e 44, logo, o x pro valor ser máximo será [tex3]\frac{(44-24)}{2}[/tex3] = 10
ou você pode derivar e igualar à 0, porque a derivada no ponto máximo tem valor = 0
derivando -[tex3]x^{2}[/tex3] +20x + 1056 = 0 fica :
-2x +20 = 0
x = 10, esse é o valor x que torna a área da praça de alimentação máxima,
substituindo o x no valor da imagem da equação, o perímetro ficará assim :
26 + 26 + 24 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] + 10 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] = 52 + 34 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
bom, desculpa por ter ficado um pouco grande, acho que é isso, qualquer coisa me avisa, abraços !
Última edição: Palmieri (Sex 26 Fev, 2016 22:31). Total de 2 vezes.
Fev 2016
27
17:00
Re: (UFES-ES - 2000) Área de figuras planas
Desculpa por nada muito obrigado por me ajudar... mas eu tenho uma duvida pq vc multiplicou a função que resultou das áreas [tex3]\( -\frac{x^{2}}{2} + 10x + 528 = A(x)\)[/tex3]
por 2???
Última edição: viitomtom (Sáb 27 Fev, 2016 17:00). Total de 2 vezes.
Fev 2016
28
12:23
Re: (UFES-ES - 2000) Área de figuras planas
Ah sim, foi só pra melhorar as contas, tirar aquela fração do [tex3]\frac{-x^{2}}{2}[/tex3]
Última edição: Palmieri (Dom 28 Fev, 2016 12:23). Total de 2 vezes.
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