Bom dia pessoal.
Estou com duvida como foi resolvido o exercício abaixo.
O filme A corrente do bem conta a história de um jovem que crê ser possível mudar o mundo a partir de uma ação voluntária de cada um. A ideia é baseada em três premissas: fazer por alguém algo que este não pode fazer por si mesmo; fazer isso para três pessoas; cada pessoa ajudada deve fazer isso por outras três pessoas. Da mesma forma que temos a “corrente do bem” para três pessoas, podemos ter uma corrente do bem para um número qualquer de pessoas.
Suponha que uma corrente do bem seja inciada numa segunda-feira, com X pessoas sendo ajudadas, e que cada uma dessas X pessoas ajudasse outras X pessoas exatamente 24 horas após ter recebido a ação voluntária.
Para termos um total de 42 pessoas ajudadas no término da terça-feira o número X deve ser igual a
A) 2
B) 6
C) 7
D) 14
E) 21
é uma PA cuja razão é o próprio x usando a formula da PA teremos que 42=x+x.x(2-1) -> 42=x + x² resolvendo por baskara chegamos a x=6 ou -7 como -7 não convêm a resposta é 6
Da onde foi tirado esse 2? Vi as formulas na net de PA e não tem esse dois... Existe outra forma de resolver esse exercício?
Pré-Vestibular ⇒ (ENEM - 2014) Progressões
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thyagovicent 
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(ENEM - 2014) Progressões
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Re: (ENEM - 2014) Progressões
Vamos pensar no que acontece:
Em um grupo de 2 pessoas ajudadas cada uma vai ajudar mais duas, ou seja, vamos com apenas duas pessoas alcançar 4 (2²). Com um grupo de 3 pessoas ajudadas vamos impactar 9 (3²), pois cada pessoa ajudará 3. Em um grupo com 4, vamos impactar 16 (4²). Portanto, se você tiver X pessoas você impactará quanto? [tex3]X^2[/tex3]
.
Perceba que se dividirmos o número de pessoas obtidas pelo número anterior, nós obteremos um valor constante (q) que caracteriza uma Progressão Geométrica (PG). O pensamento é correto, mas ainda é vago e não é nada se não formalizarmos o que sabemos do assunto. Como início da resolução, nós vamos lembrar do que pode ser útil no tópico de PG:
a) Termo Geral:
Podemos escrever os termos de uma PG da seguinte maneira:
[tex3]a_n = a_mq^{n-m}[/tex3] , onde m é um valor qualquer que se for 1:
É a conhecida fórmula que aprendemos no Ensino Médio:
[tex3]a_n = a_1q^{n-1}[/tex3]
A primeira fórmula é mais interessante porque podemos escrever o termo atual com o anterior, como exemplo:
Se n = 2 e m = 1:
[tex3]a_2 = a_1q[/tex3]
Se n = 3 e m = 2:
[tex3]a_3 = a_2q[/tex3]
Generalizando:
[tex3]a_n = a_mq^{m-n}[/tex3]
-
Com o termo geral, nós sabemos que:
1.º) [tex3]a_n = X^2[/tex3]
2.º) [tex3]a_1[/tex3] = X.
3.º) q = [tex3]\frac{a_n}{a_{n-1}}[/tex3] => q = [tex3]\frac{X^2}{X}[/tex3] => q = X
b) A soma dos termos de uma progressão geométrica finita
A fórmula da soma de uma PG pode ser obtida:
[tex3]S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdot \cdot \cdot + +a_{n-1}+ a_n[/tex3] (I)
Multiplicando (I) por q, nós obtemos outra expressão:
[tex3]qS_n = a_1q+ a_2q + a_3q + \cdot \cdot \cdot +a_{n-1}q+a_nq[/tex3] (II)
Fazendo (II) - (I), os termos [tex3]a_n = a_mq[/tex3] cancelam com [tex3]a_n[/tex3] :
[tex3]qS_n - S_n = a_nq - a_1[/tex3]
[tex3]S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}[/tex3] , onde q [tex3]\neq[/tex3] 1. (III)
-
Com o resultado anterior fica fácil:
Sendo:
[tex3]S_n = 42[/tex3]
[tex3]a_n = X^2[/tex3]
[tex3]q = X[/tex3]
[tex3]a_1 = X[/tex3]
Substituindo em (III):
[tex3]S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}[/tex3] , onde q [tex3]\neq[/tex3] 1.
[tex3]42 = \frac{X^3-X}{X-1}[/tex3] => [tex3]42 = \frac{X(X^2-1)}{X-1}[/tex3] => [tex3]42 = \frac{X(X+1)\cancel{(X-1)}}{\cancel{(X-1)}}[/tex3] => [tex3]42 = X^2 + X[/tex3] => [tex3]X^2 +X - 42 = 0[/tex3]
Pelas relações de Girard:
[tex3]X_1+X_2 = \frac{-b}{a}[/tex3] => [tex3]X_1+X_2 = -1[/tex3]
[tex3]X_1\cdot X_2= \frac{c}{a}[/tex3] =>[tex3]X_1\cdot X_2 = -42[/tex3]
Por tentativa, os valores são [tex3]X_1 = -7[/tex3] e [tex3]X_2 = 6[/tex3] . Como só queremos pessoas positivas, animadas e engajadas na causa, o valor que consideramos é [tex3]X_2 = 6[/tex3] .
O número encontrado foi X = 6, mas será que realmente é correto? Se em um grupo de 6 pessoas cada uma delas chamar mais 6, nós teremos no total 36 pessoas chamadas. Logo:
6 + 36 = 42
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Perceba que se dividirmos o número de pessoas obtidas pelo número anterior, nós obteremos um valor constante (q) que caracteriza uma Progressão Geométrica (PG). O pensamento é correto, mas ainda é vago e não é nada se não formalizarmos o que sabemos do assunto. Como início da resolução, nós vamos lembrar do que pode ser útil no tópico de PG:
a) Termo Geral:
Podemos escrever os termos de uma PG da seguinte maneira:
[tex3]a_n = a_mq^{n-m}[/tex3] , onde m é um valor qualquer que se for 1:
É a conhecida fórmula que aprendemos no Ensino Médio:
[tex3]a_n = a_1q^{n-1}[/tex3]
A primeira fórmula é mais interessante porque podemos escrever o termo atual com o anterior, como exemplo:
Se n = 2 e m = 1:
[tex3]a_2 = a_1q[/tex3]
Se n = 3 e m = 2:
[tex3]a_3 = a_2q[/tex3]
Generalizando:
[tex3]a_n = a_mq^{m-n}[/tex3]
-
Com o termo geral, nós sabemos que:
1.º) [tex3]a_n = X^2[/tex3]
2.º) [tex3]a_1[/tex3] = X.
3.º) q = [tex3]\frac{a_n}{a_{n-1}}[/tex3] => q = [tex3]\frac{X^2}{X}[/tex3] => q = X
b) A soma dos termos de uma progressão geométrica finita
A fórmula da soma de uma PG pode ser obtida:
[tex3]S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdot \cdot \cdot + +a_{n-1}+ a_n[/tex3] (I)
Multiplicando (I) por q, nós obtemos outra expressão:
[tex3]qS_n = a_1q+ a_2q + a_3q + \cdot \cdot \cdot +a_{n-1}q+a_nq[/tex3] (II)
Fazendo (II) - (I), os termos [tex3]a_n = a_mq[/tex3] cancelam com [tex3]a_n[/tex3] :
[tex3]qS_n - S_n = a_nq - a_1[/tex3]
[tex3]S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}[/tex3] , onde q [tex3]\neq[/tex3] 1. (III)
-
Com o resultado anterior fica fácil:
Sendo:
[tex3]S_n = 42[/tex3]
[tex3]a_n = X^2[/tex3]
[tex3]q = X[/tex3]
[tex3]a_1 = X[/tex3]
Substituindo em (III):
[tex3]S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}[/tex3] , onde q [tex3]\neq[/tex3] 1.
[tex3]42 = \frac{X^3-X}{X-1}[/tex3] => [tex3]42 = \frac{X(X^2-1)}{X-1}[/tex3] => [tex3]42 = \frac{X(X+1)\cancel{(X-1)}}{\cancel{(X-1)}}[/tex3] => [tex3]42 = X^2 + X[/tex3] => [tex3]X^2 +X - 42 = 0[/tex3]
Pelas relações de Girard:
[tex3]X_1+X_2 = \frac{-b}{a}[/tex3] => [tex3]X_1+X_2 = -1[/tex3]
[tex3]X_1\cdot X_2= \frac{c}{a}[/tex3] =>[tex3]X_1\cdot X_2 = -42[/tex3]
Por tentativa, os valores são [tex3]X_1 = -7[/tex3] e [tex3]X_2 = 6[/tex3] . Como só queremos pessoas positivas, animadas e engajadas na causa, o valor que consideramos é [tex3]X_2 = 6[/tex3] .
O número encontrado foi X = 6, mas será que realmente é correto? Se em um grupo de 6 pessoas cada uma delas chamar mais 6, nós teremos no total 36 pessoas chamadas. Logo:
6 + 36 = 42
Última edição: caju (Sáb 21 Out, 2017 23:12). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
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