Pré-Vestibular ⇒ (Unicamp) Produtos Notáveis/Fatoração Tópico resolvido

[EricaAS]

Mostre que se [tex3]a + b + c = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a + b + c = 0[/tex3]

, então [tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc[/tex3]

.

Obrigada desde já!

[Ittalo25]

Temos que a,b e c são raízes do polinômio:

[tex3]x^3 - (a+b+c)\cdot x^2 + (ab+bc+ac)\cdot x - abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3 - (a+b+c)\cdot x^2 + (ab+bc+ac)\cdot x - abc[/tex3]

[tex3]x^3 + (ab+bc+ac)\cdot x - abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3 + (ab+bc+ac)\cdot x - abc[/tex3]

Então:

[tex3]\begin{cases}
a^3 + (ab+bc+ac)\cdot a - abc = 0 \\
b^3 + (ab+bc+ac)\cdot b - abc =0 \\
c^3 + (ab+bc+ac)\cdot c - abc =0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a^3 + (ab+bc+ac)\cdot a - abc = 0 \\
b^3 + (ab+bc+ac)\cdot b - abc =0 \\
c^3 + (ab+bc+ac)\cdot c - abc =0
\end{cases}[/tex3]

Somando tudo:

[tex3]a^3+b^3+c^3 + (ab+bc+ac)\cdot (a+b+c) - 3abc=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3+c^3 + (ab+bc+ac)\cdot (a+b+c) - 3abc=0[/tex3]

[tex3]a^3+b^3+c^3 =3abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3+c^3 =3abc[/tex3]

c.q.d.

[LucasPinafi]

outra solução que, em essência, é a mesma proposta pelo amigo Italo.
Vamos supor que a ideia de um polinômio não lhe venha na cabeça na hora. Então, podemos apelar para procedimentos mais 'elementares', principalmente na hora de um vestibular.

[tex3]a+b+c = 0 \therefore (a+b+c)^2 = 0 \therefore a^2 + b^2 +c^2 +2(ab+ac+bc) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c = 0 \therefore (a+b+c)^2 = 0 \therefore a^2 + b^2 +c^2 +2(ab+ac+bc) = 0[/tex3]

Multiplicamos essa equação por 'a', 'b' e 'c', para obter as seguintes equações equivalentes:

[tex3]\begin{cases}a^3 + ab^2 + ac^2 + 2a(ab+ac+bc) = 0 \\ a^2b + b^3 + bc^2 + 2b(ab+ac+bc) = 0 \\ a^2 c +b^2 c + c^3 + 2c (ab+ac+bc) = 0 \end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}a^3 + ab^2 + ac^2 + 2a(ab+ac+bc) = 0 \\ a^2b + b^3 + bc^2 + 2b(ab+ac+bc) = 0 \\ a^2 c +b^2 c + c^3 + 2c (ab+ac+bc) = 0 \end{cases}[/tex3]

somando-se essas 3 equações:

[tex3]a^3 + b^3 +c~3 + ab^2 +ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c+2(ab+ac+bc)(a+b+c)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3 + b^3 +c~3 + ab^2 +ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c+2(ab+ac+bc)(a+b+c)=0[/tex3]

mas [tex3]a+b+c=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c=0[/tex3]

. Fatorando a expressão:

[tex3]a^3+b^3+c^3 + ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3+c^3 + ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c) = 0[/tex3]

e, ainda, utilizando [tex3]a+b+c=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c=0[/tex3]

, tiramos as várias relações:

[tex3]\begin{cases}a+b = - c \\ a+c = - b \\ b+c = -a \end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}a+b = - c \\ a+c = - b \\ b+c = -a \end{cases}[/tex3]

de forma que a expressão fica:

[tex3]a^3+b^3+c^3 + ab(-c) + ac(-b) + bc(-a) = 0 \therefore a^3+b^3 + c^3 = 3abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3+c^3 + ab(-c) + ac(-b) + bc(-a) = 0 \therefore a^3+b^3 + c^3 = 3abc[/tex3]

[jomatlove]

Uma prova mais simples é a seguinte:

[tex3]a + b + c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a + b + c[/tex3]

=0 [tex3]\rightarrowa + b = -c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrowa + b = -c[/tex3]

Elevando cada membro ao cubo:
[tex3](a+b)^{3} = (-c)^{3}\rightarrowa^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)^{3} = (-c)^{3}\rightarrowa^{3}[/tex3]

+3ab(a+b)+[tex3]b^{3} = -c^{3}[/tex3]

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[tex3]b^{3} = -c^{3}[/tex3]

Como a+b=-c,substituindo na ultima equação,obtemos:
[tex3]a^{3}[/tex3]

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[tex3]a^{3}[/tex3]

+3ab(-c)+[tex3]b^{3} = -c^{3}\rightarrowa^{3} + b^{3} + c^{3}[/tex3]

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[tex3]b^{3} = -c^{3}\rightarrowa^{3} + b^{3} + c^{3}[/tex3]

=3abc.

[EricaAS]

Oi meninos, grata pela atenção.

jomatlove, eu não entendi muito bem o que você fez, tentei assim:

a + b + c = 0
a + b = -c

Elevando cada membro ao cubo:
[tex3](a + b)^{3} = -c^{3}[/tex3]

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[tex3](a + b)^{3} = -c^{3}[/tex3]

A partir daqui "aparentemente" fica diferente do seu, não sei se foi porque fiz algo errado ou não consegui visualizar seu raciocínio rs

Desenvolvendo os produtos notáveis:
a³ + 3ab + 3ab + b³ = -c³

Ou seja, não entendi seu raciocínio neste trecho:
[tex3](a+b)^{3} = (-c)^{3}\rightarrow[/tex3]

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[tex3](a+b)^{3} = (-c)^{3}\rightarrow[/tex3]

[tex3]a^{3}[/tex3]

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[tex3]a^{3}[/tex3]

+3ab(a+b)+[tex3]b^{3}[/tex3]

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[tex3]b^{3}[/tex3]

= -c³

[LucasPinafi]

(a+b)³ = a³ + 3a²b+3ab²+b³ = a³ +3ab(a+b) + b³

[jomatlove]

Olá!
Basta colocar em evidência o fator comum 3ab da expressão [tex3]3a^{2}b+3ab^{2}=3ab(a+b)[/tex3]

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[tex3]3a^{2}b+3ab^{2}=3ab(a+b)[/tex3]

.

[EricaAS]

Sim, na hora eu não visualizei rs

Agora eu consegui resolver

Obrigada pela atenção!