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Mensagem não lidapor **APSmed** » Ter 02 Fev, 2016 08:59 · Mensagem não lida por **APSmed** » Ter 02 Fev, 2016 08:59

Se o polinômio p(x) satisfaz p(x).(4x²+kx+1)=8x^5-32x³-x²+4, em que k é uma constante, e duas de duas raízes são 2 e -2, então sua terceira raiz estará no intervalo

Resposta

R=[0,1[

P(x) multiplicado por um polinômio do segundo grau está resultando em um polinômio do quinto grau. Logo, nota-se que P(x) é um polinômio do terceiro grau.
[tex3]P(x)=cx^{3}+ax^{2}+bx+d[/tex3]
Dá para descobrir qual o valor de 'c' e de 'd', pois:
[tex3]cx^{3}\cdot 4x^{2}=8x^{5}[/tex3]
[tex3]c\cdot 4=8[/tex3]
[tex3]c=2[/tex3]
[tex3]dx^{0}\cdot 1x^{0}=4x^{0}[/tex3]
[tex3]d\cdot 1=4[/tex3]
[tex3]d=4[/tex3]
[tex3]P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+4[/tex3]
Agora, vamos multiplicar os polinômios e comparar:
[tex3](2x^{3}+ax^{2}+bx+4)(4x^{2}+kx+1)=8x^{5}-32x^{3}-x^{2}+4[/tex3]
[tex3]8x^{5}+2kx^{4}+4ax^{4}+2x^{3}+akx^{3}+4bx^{3}+ax^{2}+bkx^{2}+16x^{2}+bx+4kx+4=8x^{5}-32x^{3}-x^{2}+4[/tex3]

[tex3]2kx^{4}+4ax^{4}=0x^{4}[/tex3]
[tex3]2k+4a=0[/tex3]
[tex3]k+2a=0[/tex3]

[tex3]2x^{3}+akx^{3}+4bx^{3}=-32x^{3}[/tex3]
[tex3]2+ak+4a=-32[/tex3]
[tex3]ak+4a=-34[/tex3]

[tex3]ax^{2}+bkx^{2}+16x^{2}=-x^{2}[/tex3]
[tex3]a+bk+16=-1[/tex3]
[tex3]a+bk=-17[/tex3]

[tex3]bx+4kx=0x[/tex3]
[tex3]b+4k=0[/tex3]

Tem-se 4 equações:
[tex3]\begin{cases}
k+2a=0 \\
ak+4b=-34 \\
a+bk=-17 \\
b+4k=0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]k=-2a[/tex3]
[tex3]b=-4k[/tex3]
[tex3]b=-4(-2a)[/tex3]
[tex3]b=8a[/tex3]
[tex3]ak+4b=-34[/tex3]
[tex3]a(-2a)+4(8a)=-34[/tex3]
[tex3]-2a^{2}+32a+34=0[/tex3]
[tex3]-a^{2}+16a+17=0[/tex3]
raízes:
[tex3]a_{1}=-1[/tex3]
[tex3]a_{2}=17[/tex3]
Se 'a' for igual a -1, 'b' será igual a -8.
Se 'a' for igual a 17, 'b' será igual a 136.

Temos dois polinômios para P(x). Somente um é o correto. Para descobrir o verdadeiro, basta substituir x por uma das raízes. Se P(x) for igual a 0, o polinômio verdadeiro será encontrado.

[tex3]P(x)=2x^{3}-x^{2}-8x+4[/tex3]
[tex3]P(2)=2\cdot 2^{3}-2^{2}-8\cdot 2+4[/tex3]
P(2)=0

[tex3]P(x)=2x^{3}+17x^{2}+136x+4[/tex3]
[tex3]P(2)=2\cdot 2^{3}+17\cdot 2^{2}+136\cdot 2+4[/tex3]
vou nem continuar, não tem como esse polinômio resultar em 0. Logo, [tex3]P(x)=2x^{3}-x^{2}-8x+4[/tex3] é o correto.

Agora, é só aplicar o metodo de Briot Ruffini:

: asasasasasasasasasa.png (1.58 KiB) Exibido 2508 vezes

: asasasasasasa.png (1.35 KiB) Exibido 2508 vezes

[tex3]2x-1=0[/tex3]
[tex3]2x=1[/tex3]
[tex3]x=0,5[/tex3]
Logo, a terceira raiz de P(x) é 0,5. Dessa forma, esta raiz está entre [0,1[

Essa deu trabalho. Espero ter ajudado.

Mensagem não lidapor **APSmed** » Ter 02 Fev, 2016 15:59 · Mensagem não lida por **APSmed** » Ter 02 Fev, 2016 15:59

Velho, parabéns! Deu trabalho mesmo, agradeço !

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