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Mensagem não lidapor **Gauss** » Qui 21 Jan, 2016 19:57 · Mensagem não lida por **Gauss** » Qui 21 Jan, 2016 19:57

Considere as matrizes:

$M=\begin{pmatrix} sen\ \theta & cos\ \theta & 0 \\ -sen\ \theta & cos\ \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , [tex3]\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}[/tex3] e [tex3]\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

A) Calcule o determinante de M e a matriz inversa de M.
B) Resolva o sistema MX=Y.

A) $Det\ M=cos^2\theta -(-sen^2\theta )\rightarrow Det\ M=1$

$Det\ M^{-1}=\frac{1}{Det\ M}\rightarrow Det\ M^{-1}=\frac{1}{1}\rightarrow Det\ M^{-1}=1$

B)
$MX=Y\\\\\begin{pmatrix} cos\ \theta .x+sen\ \theta .y \\ -sen\ \theta .x+cos\ \theta .y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{pmatrix}\\\\\begin{cases} cos\ \theta .x+sen\ \theta .y=1 \\ -sen\ \theta .x+cos\ \theta .y=0 \end{cases}$

Como resolver o sistema acima?

Resposta

$S=(z=3,x=cos\ \theta ,y=sen\ \theta )$

Mensagem não lidapor **Gauss** » Dom 24 Jan, 2016 23:13 · Mensagem não lida por **Gauss** » Dom 24 Jan, 2016 23:13

Creio que você se confundiu na letra A. O determinante dessa matriz 3x3 é equivalete ao dessa matriz: $\begin{pmatrix} sen(x) & cos(x) \\ -sen(x) & cos(x) \\ \end{pmatrix}$
Que é igual a $sen(x)cos(x)+sen(x)cos(x)=2sen(x)cos(x)=sen(2x)$
Para calcular a matriz inversa, calculemos a matriz adjunta (formada pela transposta dos cofatores). Relembrando um cofator é o valor obtido da mesma maneira quando aplicamos o Teorema de Laplace.
$Cof(M)=\begin{pmatrix} cos(x) & sen(x) & 0 \\ -cos(x) & sen(x) & 0 \\ 0 & 0 & sen(2x) \\ \end{pmatrix} \rightarrow Adj(M)=\begin{pmatrix} cos(x) & -cos(x) & 0 \\ sen(x) & sen(x) & 0 \\ 0 & 0 & sen(2x) \\ \end{pmatrix}$
Então $M^{-1}=det(M^{-1})*Adj(M)=\begin{pmatrix} \frac{1}{2sen(x)} & -\frac{1}{2sen(x)} & 0 \\ \frac{1}{2cos(x)} & \frac{1}{2cos(x)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Ignore o fato de eu ter usado x e não $\theta$ .
Para a letra B, o resultado correto da multiplicação das matrizes seria:
$\begin{pmatrix} x.sen(\theta) + y.cos(\theta) \\ -x.sen(\theta)+ y.cos(\theta) \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{pmatrix}$
Lembrando que o processo de multiplicação é "linha->coluna", você pega os elementos de uma linha da primeira matriz e multiplica por cada coluna da outra.
Somando as duas primeiras equações, obtemos $2y.cos(\theta)=1 \rightarrow y=\frac{sec(\theta)}{2}$ .
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos $2x.sen(\theta)=1 \rightarrow x=\frac{cosec(\theta)}{2}$
Essa resposta não bateu com seu gabarito, mas o sistema que você postou de fato possui solução que bate com o gabarito, mas a multiplicação $MX$ foi feita errada. De qualquer forma vou apresentar uma solução para esse sistema.
$\begin{cases} cos\ \theta .x+sen\ \theta .y=1 \\ -sen\ \theta .x+cos\ \theta .y=0 \end{cases}$
Multiplica-se a primeira equação por $sen\ \theta$ e a segunda por $cos\ \theta$
$\begin{cases} \frac{sen\ 2\theta}{2} .x+sen^2\ \theta .y=sen\ \theta \\ -\frac{sen\ 2\theta}{2} .x+cos^2\ \theta .y=0 \end{cases}$
Soma-se as duas e obtêm-se: $(sen^2\ \theta + cos^2\ \theta)y=sen\ \theta \rightarrow y=sen\ \theta$
Substituindo na segunda equação (antes mesmo de ser multiplicada):
$-sen\ \theta .x+cos\ \theta sen\ \theta=0 \rightarrow x = cos\ \theta$

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