Pré-Vestibular ⇒ (Unicsul) Área sombreada Tópico resolvido

[Bustika]

Considere a figura a seguir que tem um quadrado de lado quatro unidades de comprimento contendo quatro circunferências C1, C2, C3 e C4 tangentes aos lados do quadrado e tais que C1 é tangente a C2 e C3, C2 é tangente a C1 e C4, C3 é tangente a C1 e C4. Determine a área sombreada, em unidades de área.

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Resposta: 4(4-[tex3]\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi[/tex3]

)

[Gauss]

Screenshot_2.jpg (21.17 KiB) Exibido 573 vezes

Sejam

Código: Selecionar tudo

[tex3]d_1[/tex3]

e

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[tex3]d_2[/tex3]

os diâmetros das circunferências

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[tex3]C_1[/tex3]

e

Código: Selecionar tudo

[tex3]C_2[/tex3]

, respectivamente.

Seja

Código: Selecionar tudo

[tex3]l[/tex3]

o lado do quadrado.

Da figura, temos que:

[tex3]d_1+d_2=l\\2r+2r=4\\r=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_1+d_2=l\\2r+2r=4\\r=1[/tex3]

Área do quadrado:

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[tex3]A_q=l^2\\A_q=4^2\\A_q=16[/tex3]

Área das quatro circunferências:

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[tex3]A_c=4\pi r^2\\A_c=4.\pi.(1)^2\\A_c=4\pi[/tex3]

Área sombreada:

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[tex3]A_s=A_q-A_c\\A_s=16-4\pi \\ \boxed {A_s=4(4-\pi )}[/tex3]