Pré-Vestibular

Se $f(x) = x^2$ e $g(x)$ é uma função bijetora satisfazendo as relações $f(g (u)) = g(u)$ , $g(f (u)) = g(1)$ e $g^{-1}(1) = 0$ , então o valor de $u.g(u)$ é

A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2

Resposta

C

Olá, Wagnersantos,

Pensei o seguinte, como $f(x)=x^2$ , então

$f(g(u))=(g(u))^2$

Porém, das relações dadas,

$f(g(u))=g(u)$

Dessa forma,

$(g(u))^2=g(u)$

$(g(u))^2-g(u)=0$

$g(u)\cdot (g(u)-1)=0$

$g(u)=0\,\,\,\,ou\,\,\,\,g(u)=1$

Bem, se $g(u)=0$ , teremos $u\cdot g(u)=0$ . Por outro lado, se $g(u)=1$ . Da terceira informação,

$g^{-1}(1)=0\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,g(0)=1$

Assim, $g(u)=g(0)$ . Porém, se $g$ é bijetora, particularmente, ela é injetora, logo para essa equação ocorrer, devemos ter $u=0$ .

Em qualquer caso, $u\cdot g(u)=0$

Espero ter ajudado. Bons estudos.

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