Pré-Vestibular

cicero444

Na figura abaixo temos o quadrado ABCD de lado 4. Dividimos cada lado na razão 1:3 e, com os pontos obtidos, obtemos um outro quadrado [tex3]A_{1}B_{1} C_{1} D_{1}[/tex3] inscrito no maior. Dividimos cada lado do quadrado [tex3]A_{1}B_{1} C_{1} D_{1}[/tex3] na mesma razão e repetimos o processo obtendo o quadrado [tex3]A_{2} B_{2}C_{2} D_{2}[/tex3] , e assim sucessivamente.

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Se [tex3]S_{1}[/tex3] é a área do triângulo A [tex3]D_{1} A_{1}[/tex3] , [tex3]S_{2}[/tex3] é a área do triângulo [tex3]A_{1}D_{2} A_{2}[/tex3] e assim sucessivamente, então o limite da soma
[tex3]S_{1} + S_{2}[/tex3] + ...
e igual a
(a) 1.
(b) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
(c) 2.
(d) 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
(e) 4.

Olá, Cicero444.

Foi dividido o lado em 4 partes, então $AA_1=1$ e $AD_1=3$ . Por Pitágoras, $A_1D_1=\sqrt{10}$ . Analogamente, $A_1A_2=\frac{\sqrt{10}}{4}$ e $A_1D_2=\frac{3\sqrt{10}}{4}$

Temos que $S_1=\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 1=\frac{3}{2}$ da mesma forma que $S_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{4}\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{15}{16}$

Note que $\frac{S_2}{S_1}=\frac{5}{8}$

Então a razão da PG é $\frac{5}{8}<1$ . A soma $S$ será

$S=S_1+S_2+\cdots$

$S=S_1+\frac{5}{8}\cdot S_1$

$S=\frac{S_1}{1-\frac{5}{8}}$

$S=\frac{8}{3}\,S_1$

$S=4\,\,$

Espero ter ajudado, abraço.

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