Pré-Vestibular ⇒ (UFPB) Trigonometria Tópico resolvido

[claudiomarianosilveira]

A equação [tex3]cos(3x)-cos(x) = sen(2x)[/tex3]

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[tex3]cos(3x)-cos(x) = sen(2x)[/tex3]

para [tex3]x \in [0,2\pi ][/tex3]

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[tex3]x \in [0,2\pi ][/tex3]

, possui [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

raízes. O valor de [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

é:

a) [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

.
b) [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

.
c) [tex3]6[/tex3]

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[tex3]6[/tex3]

.
d) [tex3]7[/tex3]

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[tex3]7[/tex3]

.
e) [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

.

[petras]

[tex3]\mathsf{cos3x = cos(2x+x) = cosx.cos2x-sen2x.senx =cosx.(cos^2x-sen^2x)-2senxcosx.senx\rightarrow \\
cos^3x-cosxsen^2x-2sen^2xcosx=cos^3x-3sen^2xcosx \\
cos^3x-3sen^2xcosx-cosx=2senxcox\rightarrow cos^3x-3sen^2xcosx-cosx-2senxcosx=0\rightarrow cosx(cos^2x-3sen^2x-1-2senx)=0\\
I)cosx = 0\rightarrow x = (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})\\
II)-sen^2x-3sen^2x-2senx = 0 \rightarrow -4sen^2x-2senx=0(II)\rightarrow senx = u \rightarrow -4u^2-2u=0\rightarrow2u(-2u~-1)=0\\
u = 0 ~ou~u=-\frac{1}{2}\rightarrow senx = 0\rightarrow x = (0, \pi)~ou~x = (\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})\\
\\ \boxed{{0, \frac{\pi}{2}, \pi , \frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2},\frac{11\pi }{6} }} \\
}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{cos3x = cos(2x+x) = cosx.cos2x-sen2x.senx =cosx.(cos^2x-sen^2x)-2senxcosx.senx\rightarrow \\
cos^3x-cosxsen^2x-2sen^2xcosx=cos^3x-3sen^2xcosx \\
cos^3x-3sen^2xcosx-cosx=2senxcox\rightarrow cos^3x-3sen^2xcosx-cosx-2senxcosx=0\rightarrow cosx(cos^2x-3sen^2x-1-2senx)=0\\
I)cosx = 0\rightarrow x = (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})\\
II)-sen^2x-3sen^2x-2senx = 0 \rightarrow -4sen^2x-2senx=0(II)\rightarrow senx = u \rightarrow -4u^2-2u=0\rightarrow2u(-2u~-1)=0\\
u = 0 ~ou~u=-\frac{1}{2}\rightarrow senx = 0\rightarrow x = (0, \pi)~ou~x = (\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})\\
\\ \boxed{{0, \frac{\pi}{2}, \pi , \frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2},\frac{11\pi }{6} }} \\
}[/tex3]