Pré-Vestibular(MACK) Análise Combinatória Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Gauss
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Ago 2015 05 17:30

(MACK) Análise Combinatória

Mensagem não lida por Gauss »

Pode-se formar uma comissão de 3 pessoas, escolhidas dentre os p diretores de uma firma de k maneiras distintas. Entretanto, havendo designações diferentes para as 3 pessoas da comissão, a escolha pode ser feita de k+100 maneiras distintas. O valor de k é:

A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
Resposta

C

Última edição: Gauss (Qua 05 Ago, 2015 17:30). Total de 2 vezes.



ttbr96
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Re: (MACK) Análise Combinatória

Mensagem não lida por ttbr96 »

no enunciado temos 2 casos:

1. formar uma comissão de 3 pessoas dentre p diretores sem restrição.
2. formar uma comissão de 3 pessoas dentre p diretores com restrição, ou seja, há designações diferentes para cada uma da 3 pessoas que farão parte da comissão. Por exemplo: um será presidente, o outro será vice-presidente e o último secretário.

no primeiro caso, a ordem não é importante, então:

C_{p}^3 = \frac{p!}{3! \cdot (p - 3)!} = \frac{p(p - 1)(p -2)(p -3)!}{6(p - 3)!} = \frac{p(p - 1)(p - 2)}6 = k

no segundo caso, a ordem é importante, então:

A_p^3 = \frac{p!}{(p - 3)!} = \frac{p(p - 1)(p - 2)(p - 3)!}{(p - 3)!} = p(p - 1)(p - 2) = k + 100

logo, temos duas equações:

equação 1: \frac{p(p - 1)(p - 2)}6 = k

equação 2: p(p - 1)(p - 2) = k + 100

substituindo a equação 2 em 1, teremos:

\frac{p(p - 1)(p - 2)}6 = k \\\\\\
\frac{k + 100}6 = k \\\\\\
k = 20

Última edição: ttbr96 (Qua 05 Ago, 2015 23:58). Total de 2 vezes.



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Gauss
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Re: (MACK) Análise Combinatória

Mensagem não lida por Gauss »

Muito obrigado, ttbr96. Foi de uma ajuda imensa!



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rickravent15
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Re: (MACK) Análise Combinatória

Mensagem não lida por rickravent15 »

Boa noite, não entendi apenas o por que da ultima expressão resultar em 20...

Se puder me explicar melhor, serei grato!




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