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(Puc-1979) Binômio de Newton
Enviado: Qua 25 Mar, 2015 23:40
por jose carlos de almeida
Se [tex3](2x-y)^4=a_1x^4+a_2x^3y+a_3x^2y^2+a_4xy^3+a_5y^4[/tex3]
,então [tex3]\sum_{i=1}^{5}a_i[/tex3]
é igual a;
a) 3
b) 2
c) 1
d) 5
e) 6
Re: (Puc-1979) Binômio de Newton
Enviado: Qui 26 Mar, 2015 08:27
por poisedom
[tex3](2x-y)^4=(2x)^4+4\cdot(2x)^3(-y)+6\cdot(2x)^2(-y)^2+4\cdot2x(-y)^3+(-y)^4[/tex3]
[tex3](2x-y)^4=16x^4-32x^3y+24x^2y^2-8xy^3+y^4[/tex3]
então [tex3]\sum_{i=1}^{5}a_i=16-32+24-8+1=1[/tex3]
Re: (Puc-1979) Binômio de Newton
Enviado: Sex 27 Mar, 2015 12:31
por caju
Olá jose e poisedom,
Uma maneira mais rápida de fazer esta questão, sem precisar desenvolver todo o binômio, é ver que o somatório que está sendo pedido nada mais é do que a soma de todos os coeficientes.
Essa soma, conseguimos rapidamente substituindo [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
por [tex3]1[/tex3]
na expressão [tex3](2x-y)^4[/tex3]
.
Sendo assim:
[tex3]\sum_{i=1}^{5}a_i=(2\cdot 1-1)^4=1[/tex3]
Imagina se a questão pedisse o somatório [tex3]\sum_{i=1}^{100}a_i[/tex3]
do binômio [tex3](2x-y)^{99}[/tex3]
. Seria impossível de fazer o desenvolvimento deste binômio em uma prova.
Grande abraço,
Prof. Caju
Re: (Puc-1979) Binômio de Newton
Enviado: Sex 02 Fev, 2018 12:10
por Babi123
Qual a liberdade de tomar [tex3]x=y=1[/tex3]
?
Re: (Puc-1979) Binômio de Newton
Enviado: Sex 02 Fev, 2018 12:41
por caju
Olá
Babi123,
Vou dar um exemplo mais prático para tentar ilustrar a técnica que utilizei. Se for pedido qual a soma dos coeficientes do polinômio [tex3]p(x)=45x^5+3x^4-20x^3+10x^2-4x+9[/tex3]
, você consegue enxergar que, somar os coeficientes é a mesma coisa que substituir [tex3]x=1[/tex3]
e ver qual o valor de [tex3]p(1)[/tex3]
? Quando colocamos [tex3]x=1[/tex3]
, todos os [tex3]x[/tex3]
da expressão serão retirados, ficando apenas uma soma dos coeficientes.
Esta é uma propriedade legal de uma expressão matemática. A soma dos coeficientes é sempre igual a avaliarmos seu valor com as variáveis iguais a 1.
No caso da questão, como a expressão é função de [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
, ao substituirmos [tex3]x=y=1[/tex3]
, teremos apenas os coeficientes sendo somados. E, o somatório pedido [tex3]\sum_{i=1}^{5}a_i[/tex3]
nada mais é do que o somatório dos coeficientes. Assim, chegamos à solução de uma forma mais rápida
Como eu disse na minha mensagem anterior: nesta questão em si esta técnica pode não ser muito visivelmente melhor do que desenvolver [tex3](2x-y)^4[/tex3]
. Mas, em uma questão que pedisse a soma dos coeficientes de [tex3](2x-y)^{100}[/tex3]
, desenvolver o Binômio de Newton todo seria um trabalho astronômico, e esta técnica teria uma vantagem gigantesca.
Grande abraço,
Prof. Caju