Pré-Vestibular ⇒ (UFJF-MG - 2012.2) Geometria Plana Tópico resolvido

[kessijs]

Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:

cir.jpg (8.12 KiB) Exibido 39700 vezes

Os segmentos AB , BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB = 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:

[tex3]A)\,\,\frac{160\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

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[tex3]A)\,\,\frac{160\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

[tex3]B)\,\,\frac{80\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

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[tex3]B)\,\,\frac{80\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

[tex3]C)\,\,\frac{16\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

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[tex3]C)\,\,\frac{16\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

[tex3]D)\,\,\frac{8\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

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[tex3]D)\,\,\frac{8\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

[tex3]C)\,\,\frac{\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

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[tex3]C)\,\,\frac{\sqrt{3}}{3}\,m[/tex3]

[theblackmamba]

Por definição de ângulo central ser o dobro do ângulo inscrito temos que o ângulo central vale [tex3]120^{\circ}[/tex3]

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[tex3]120^{\circ}[/tex3]

.
Temos um triângulo isósceles e podemos dividí-lo em duas metades.

2.png (27.83 KiB) Exibido 39690 vezes

[tex3]\sin 60^{\circ}=\frac{80}{R}[/tex3]

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[tex3]\sin 60^{\circ}=\frac{80}{R}[/tex3]

[tex3]R=\frac{80}{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

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[tex3]R=\frac{80}{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{R=\frac{160\sqrt{3}}{3}\,m}[/tex3]

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[tex3]\boxed{R=\frac{160\sqrt{3}}{3}\,m}[/tex3]

. Letra A

OBS.: Coloque sempre as alternativas pois elas fazem parte da questão.

[csmarcelo]

theblackmamba,

A resposta correta não seria a letra B? Você colocou a medida do cateto igual a 80, mas, na verdade, essa é a medida do segmento AB.

[theblackmamba]

theblackmamba,

A resposta correta não seria a letra B? Você colocou a medida do cateto igual a 80, mas, na verdade, essa é a medida do segmento AB.

Verdade. O segmento então vale [tex3]40[/tex3]

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[tex3]40[/tex3]

.

[tex3]R=\frac{40}{\sen 60^{\circ}}=\frac{80\sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]R=\frac{40}{\sen 60^{\circ}}=\frac{80\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Abraço.

[Planck]

Um outro jeito de resolver essa questão é pela Lei dos Senos:

[tex3]\frac{\overline{\text{AB}}}{\sen 60º} = \text{ 2R} \, \, \implies \, \, \frac{80}{\frac{\sqrt 3}{2}} = 2 \text{R} \, \, \iff \, \, \frac{80 \cdot 2}{2 \cdot \sqrt 3} = \text{R}[/tex3]

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[tex3]\frac{\overline{\text{AB}}}{\sen 60º} = \text{ 2R} \, \, \implies \, \, \frac{80}{\frac{\sqrt 3}{2}} = 2 \text{R} \, \, \iff \, \, \frac{80 \cdot 2}{2 \cdot \sqrt 3} = \text{R}[/tex3]