Pré-Vestibular ⇒ BOMBA DE VÁCUO

[jose carlos de almeida]

UMA BOMBA DE VÁCUO RETIRA METADE DO AR DE UM RECIPIENTE FECHADO
A CADA BOMBEADA. SABENDO QUE APÓS 5 BOMBEADAS FORAM RETIRADOS 62cm3
DE AR. QUAL A QUANTIDADE DE AR QUE PERMANECE NO RECIPIENTE APÓS ESSAS
BOMBEADAS,EM CM3 ?

[Auto Excluído (ID:276)]

oi , jose

a cada bombeada, ela tira metade do volume contido no recipiente.

a 1ª bombeada tirou [tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

a 2ª [tex3]\frac{x}{2^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2^2}[/tex3]

e assim vai ... até a 5ª que retirara [tex3]\frac{x}{2^5}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2^5}[/tex3]

[tex3]x( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{32} ) = 62[/tex3]

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[tex3]x( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{32} ) = 62[/tex3]

progressão geométrica de [tex3]q = \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]q = \frac{1}{2}[/tex3]

, [tex3]a_1 = \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]a_1 = \frac{1}{2}[/tex3]

a soma será dada por : [tex3]S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1} \Rightarrow x \frac{ \frac{1}{2} (\frac{1}{2^5} - 1)}{\frac{1}{2} - 1}[/tex3]

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[tex3]S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1} \Rightarrow x \frac{ \frac{1}{2} (\frac{1}{2^5} - 1)}{\frac{1}{2} - 1}[/tex3]

[tex3]x( \frac{-31}{64} . \frac{-1}{2}) = 62[/tex3]

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[tex3]x( \frac{-31}{64} . \frac{-1}{2}) = 62[/tex3]

[tex3]x . \frac{1}{128} = 2[/tex3]

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[tex3]x . \frac{1}{128} = 2[/tex3]

[tex3]x = 256 cm^3[/tex3]

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[tex3]x = 256 cm^3[/tex3]

o restante contido no recipiente é [tex3]256 - \frac{31}{128} = \frac{32737}{128}[/tex3]

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[tex3]256 - \frac{31}{128} = \frac{32737}{128}[/tex3]

acho q é isso. té +

[jose carlos de almeida]

CARO PEDRO,A RESPOSTA DO LIVRO É 2CM3.
OBRIGADO
JOSÉ CARLOS

[Karl Weierstrass]

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{x}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{18}+\frac{1}{16}\right)=\frac{x}{2}\cdot\frac{31}{64}=\frac{31x}{32}[/tex3]

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[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{x}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{18}+\frac{1}{16}\right)=\frac{x}{2}\cdot\frac{31}{64}=\frac{31x}{32}[/tex3]

Logo

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{31x}{32}=62\Longrightarrow x=64\,\text{cm^3}[/tex3]

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[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{31x}{32}=62\Longrightarrow x=64\,\text{cm^3}[/tex3]

.

Se havia [tex3]64\text{cm^3}[/tex3]

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[tex3]64\text{cm^3}[/tex3]

e retiramos [tex3]62\text{cm^3}[/tex3]

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[tex3]62\text{cm^3}[/tex3]

restam [tex3]2\text{cm^3}[/tex3]

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[tex3]2\text{cm^3}[/tex3]

.


[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,S_5=1\cdot \Large\frac{\frac{1}{32}-1}{\frac{1}{2}-1}\large=\frac{31}{64}[/tex3]

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[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,S_5=1\cdot \Large\frac{\frac{1}{32}-1}{\frac{1}{2}-1}\large=\frac{31}{64}[/tex3]