Pré-Vestibular ⇒ Coleção de objetos Tópico resolvido

[paulo testoni]

Reunindo se os objetos de uma certa coleção (todos diferentes de si 4 a 4), o número de grupamentos coincide com o total de grupamentos desses mesmos objetos reunidos 6 a 6. Sabendo que os grupamentos se distiguem pela presença de ao menos um objeto diferente em cada um deles, determine o número de objetos da coleção.

[Karl Weierstrass]

o número de grupamentos coincide com o total de grupamentos desses mesmos objetos reunidos 6 a 6

o número total de grupamentos coincide com o total de grupamentos ... ?

Paulo você tem a resposta?





[tex3]\,[/tex3]

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[tex3]\,[/tex3]

[caju]

Olá a todos,

Meio estranho, realmente, esta questão.

Acredito que o que esteja dizendo é que a combinação dos [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

elementos 4 a 4 é igual à combinação dos elementos 6 a 6. E pergunta a quantidade [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

de elementos:

[tex3]C_n^4=C_n^6[/tex3]

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[tex3]C_n^4=C_n^6[/tex3]

Aplicando a fórmula da combinação:

[tex3]\frac{n!}{4!(n-4)!}=\frac{n!}{6!(n-6)!}[/tex3]

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[tex3]\frac{n!}{4!(n-4)!}=\frac{n!}{6!(n-6)!}[/tex3]

[tex3]4!(n-4)!=6!(n-6)![/tex3]

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[tex3]4!(n-4)!=6!(n-6)![/tex3]

[tex3]4!(n-4)(n-5)(n-6)!=6\cdot 5\cdot 4!(n-6)![/tex3]

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[tex3]4!(n-4)(n-5)(n-6)!=6\cdot 5\cdot 4!(n-6)![/tex3]

[tex3](n-4)(n-5)=30[/tex3]

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[tex3](n-4)(n-5)=30[/tex3]

[tex3]n^2-9n-10=0[/tex3]

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[tex3]n^2-9n-10=0[/tex3]

Que dá como resultado [tex3]n=10[/tex3]

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[tex3]n=10[/tex3]

ou [tex3]n=-1[/tex3]

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[tex3]n=-1[/tex3]

, que não nos serve. Ou seja, a quantidade pedida é [tex3]10[/tex3]

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[tex3]10[/tex3]

.

[paulo testoni]

Hola.

quando vc reune uma coleção de n objetos em grupamentos de 4 voce está formando as combinações desses n objetos tomadas 4 a 4 . Por que não seriam arranjos? porque o enunciado diz que cada grupamento tem pelo menos um objeto diferente e nos arranjos, os grupamentos diferem por terem objetos diferentes mas tb diferem pela ordem em que esses objetos são colocados no agrupamento. por exemplo:se formarmos os agrupamentos 2 a doi possiveis com as letras a, b e c teriamos: ab, ac, bc ou seja 3. Esses agrupamentos são as combinações. Já se voce inclui as possibilidades de agrupamentos diferindo tb pela ordem teriamos ab, ac, bc mas tb ba, ca e cb. Esses 6 grupamentos seriam os arranjos 2 a dois das 3 letras
O enunciado diz que o numero de grupamento dos n objetos 4 a 4 é igual ao numero de gupamento desses objetos 6 a 6 . Como vc ja sabe que esses grupamentos são as combinções 4 a 4 e 6 a 6 então C(n,4) = C(n p).

Há uma propriedade muito importante desses numeros resultantes de combinações que são chamadosa de numeros binomiasi e essa propriedade dia que :
C(n,p ) = C(n, n-p) Por exemplo:
C(6,2) = C(6,4) 2+ 4 = 6
C(13, 5) = C13, 8) 5+8 = 13
etc
como C(n,4) = C(n,6) veja acima que o valor de n deverá ser a soma de 4 e 8 ou seja n = 4+6 = 10. logo a resposta é : na coleção existem 10 objetos.

Uma colaboração do Ommar.

[Karl Weierstrass]

Eu havia pensado exatamente nessa solução, mas o enunciado está um tanto quanto obscuro.

Abraço.

[paulo testoni]

Hola Karl.

Realmente vc tem razão. O caju está correto. Vale ressaltar o excelente trabalho que vc vem fazendo pelo fórum na resolução dos mais diversos exercícios.