Pré-Vestibular ⇒ Fatoração - EDSON QUEIROZ

[barbarahass]

Simplificando a expressão [tex3]\frac{2^{6n}-1}{2^{6n}+2^{3n+1}+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2^{6n}-1}{2^{6n}+2^{3n+1}+1}[/tex3]

, na qual n [tex3]\in[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in[/tex3]

N, obtém-se

a) 0

b) [tex3]2^{3n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{3n}[/tex3]

c) [tex3]\frac{1}{2^{3n}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2^{3n}}[/tex3]

d) [tex3]\frac{2^{3n}-1}{2^{3n}+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2^{3n}-1}{2^{3n}+1}[/tex3]

[paulo testoni]

Hola barbarahass.

vamos escrever o numerador da fração como o produto da diferença pela soma de dois números, pois aí nós temos a diferença de dois quadrados do tipo:

[tex3]a^2 - b^2 = (a + b)*(a - b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2 - b^2 = (a + b)*(a - b)[/tex3]

[tex3](2^{3n} - 1)*(2^{3n} + 1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2^{3n} - 1)*(2^{3n} + 1)[/tex3]

, pois: [tex3]2^{6n} - 1 = (2^{3n})^{2} - 1^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{6n} - 1 = (2^{3n})^{2} - 1^2[/tex3]

vamos escrever o denominador da fração como um trinômio quadrado perfeito do tipo:

[tex3](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex3]

[tex3]2^{6n} + 2^{3n + 1} + 1 = (2^{3n})^{2} + 2^{3n}*2^1 + 1^2 = (2^{3n} + 1)^2 ou ({2^{3n} + 1)*(2^{3n} + 1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{6n} + 2^{3n + 1} + 1 = (2^{3n})^{2} + 2^{3n}*2^1 + 1^2 = (2^{3n} + 1)^2 ou ({2^{3n} + 1)*(2^{3n} + 1)[/tex3]

. Portanto:

[tex3]\frac{2^{6n} - 1}{2^{6n} + 2^{3n + 1} + 1} = \frac{(2^{3n} - 1)*(2^{3n} + 1)}{(2^{3n} + 1)*(2^{3n} + 1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2^{6n} - 1}{2^{6n} + 2^{3n + 1} + 1} = \frac{(2^{3n} - 1)*(2^{3n} + 1)}{(2^{3n} + 1)*(2^{3n} + 1)}[/tex3]

, agora simplifique o que é exatamente igual:

[tex3]\frac{2^{3n} + 1}{2^{3n} - 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2^{3n} + 1}{2^{3n} - 1}[/tex3]

, letra d.