[tex3](Questao)[/tex3]
Prove que, se [tex3]\rm a, b, c[/tex3]
são elementos de ordem [tex3]\rm p, q, r[/tex3]
. respectivamente, da mesma [tex3]P.G.[/tex3]
, então:
[tex3]\rm a^{q-r} . b^{r-p} . c^{p-q}=1[/tex3]
Eu fiz essa considerando [tex3]\rm p, q, r[/tex3]
como sendo o índices dos termos [tex3]1, 2\/\/e\/\/3[/tex3]
de uma
[tex3]P.G.(k_1, k_2, K_3)[/tex3]
[tex3]a=k_1\longrightarrow p=1\\
b=k_2\longrightarrow q=2\\
c=k_3\longrightarrow r=3\\[/tex3]
Então ficaria:
[tex3]\rm a^{-1} . b^2 . c^{-1}=1\\
b^2=ac\\
\rm \longdownarrow[/tex3]
É uma igualdade verdadeira. Então posso considerar como provado? Ou eu teria que fazer mais alguma coisa?
Vlw.
Pré-Vestibular ⇒ Progressão Geométrica (I)
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14
20:38
Progressão Geométrica (I)
Última edição: brain_tnt (Sex 14 Mar, 2008 20:38). Total de 1 vez.
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Karl Weierstrass 
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14
22:36
Re: Progressão Geométrica (I)
Você apenas verificou um caso particular.
Sejam [tex3]\alpha[/tex3] o primeiro termo da P.G. e [tex3]\beta[/tex3] a razão. Segue que:
[tex3]a=\alpha\cdot \beta^{p-1}\\
b=\alpha\cdot \beta^{q-1}\\
c=\alpha\cdot \beta^{r-1}[/tex3]
Substitua [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] na identidade e simplifique para encontrar [tex3]1[/tex3] .
Faltou dizer no enunciado que [tex3]a,b,c\not= 0[/tex3]
[tex3]\,[/tex3]
Sejam [tex3]\alpha[/tex3] o primeiro termo da P.G. e [tex3]\beta[/tex3] a razão. Segue que:
[tex3]a=\alpha\cdot \beta^{p-1}\\
b=\alpha\cdot \beta^{q-1}\\
c=\alpha\cdot \beta^{r-1}[/tex3]
Substitua [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] na identidade e simplifique para encontrar [tex3]1[/tex3] .
Faltou dizer no enunciado que [tex3]a,b,c\not= 0[/tex3]
[tex3]\,[/tex3]
Última edição: Karl Weierstrass (Sex 14 Mar, 2008 22:36). Total de 1 vez.
Mar 2008
16
01:01
Re: Progressão Geométrica (I)
Valeu Karl.
Mas tipow, você disse que eu verifiquei um caso particular.
E se se fosse provado a validade desse caso;
[tex3]\rm Temos a P.G\longrightarrow (a, b, c)\\
sendo:\\
\rm \frac{b}{a}=q e \frac{c}{b}=q\\[/tex3]
logo:
[tex3]\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\\
b^2=a.c[/tex3]
Então eu poderia considerar. Ou não?
Vlws =D
Mas tipow, você disse que eu verifiquei um caso particular.
E se se fosse provado a validade desse caso;
[tex3]\rm Temos a P.G\longrightarrow (a, b, c)\\
sendo:\\
\rm \frac{b}{a}=q e \frac{c}{b}=q\\[/tex3]
logo:
[tex3]\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\\
b^2=a.c[/tex3]
Então eu poderia considerar. Ou não?
Vlws =D
Última edição: brain_tnt (Dom 16 Mar, 2008 01:01). Total de 1 vez.
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Karl Weierstrass
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Mar 2008
16
03:23
Re: Progressão Geométrica (I)
Não tenho certeza se entendi. O que você mostrou é que o quadrado do termo médio de uma PG de três termos é o produto dos outros dois.brain_tnt escreveu:P.G [tex3](a, b, c)[/tex3]
[tex3]b^2=a.c[/tex3]
Na verdade, em toda PG, o quadrado de cada termo é igual ao produto do seu antecessor pelo seu sucessor, com exceção do primeiro e do último termos (o primeiro não tem antecessor e o último não tem sucessor).
O problema que você postou é muito mais amplo. A relação vale para quaisquer [tex3]p,\,q[/tex3] e [tex3]r[/tex3] .
Última edição: Karl Weierstrass (Dom 16 Mar, 2008 03:23). Total de 1 vez.
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