Pré-Vestibular ⇒ Progressão Geométrica (II)

[brain_tnt]

[tex3](Questao)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](Questao)[/tex3]

Prove que, se [tex3](a_1,a_2,a_3,...)[/tex3]

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[tex3](a_1,a_2,a_3,...)[/tex3]

é um [tex3]P.G.[/tex3]

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[tex3]P.G.[/tex3]

, com todos os termos diferentes de zero, então [tex3](\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3},...)[/tex3]

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[tex3](\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3},...)[/tex3]

também é [tex3]P.G.[/tex3]

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[tex3]P.G.[/tex3]

Alguém sabe me dizer se está certo provar dessa maneira? Ou haveria outra forma de provar?
Eu fiz assim:
[tex3]\rm \frac{a_2}{a_1}=q(I) e \frac{a_3}{a_2}=q(II)[/tex3]

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[tex3]\rm \frac{a_2}{a_1}=q(I) e \frac{a_3}{a_2}=q(II)[/tex3]

Elevando as 2 iguadades a [tex3](-1)[/tex3]

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[tex3](-1)[/tex3]

:

[tex3](\frac{a_2}{a_1})^{-1}=(q)^{-1}(I)\\
\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{q}\\
\frac{\frac{1}{a_2}}{\frac{1}{a_1}}=\frac{1}{q}[/tex3]

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[tex3](\frac{a_2}{a_1})^{-1}=(q)^{-1}(I)\\
\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{q}\\
\frac{\frac{1}{a_2}}{\frac{1}{a_1}}=\frac{1}{q}[/tex3]

[tex3].-----------.[/tex3]

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[tex3].-----------.[/tex3]

[tex3](\frac{a_3}{a_2})^{-1}=(q)^{-1}(II)\\
\frac{a_2}{a_3}=\frac{1}{q}\\
\frac{\frac{1}{a_3}}{\frac{1}{a_2}}=\frac{1}{q}[/tex3]

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[tex3](\frac{a_3}{a_2})^{-1}=(q)^{-1}(II)\\
\frac{a_2}{a_3}=\frac{1}{q}\\
\frac{\frac{1}{a_3}}{\frac{1}{a_2}}=\frac{1}{q}[/tex3]

[tex3]Genralizando:[/tex3]

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[tex3]Genralizando:[/tex3]

[tex3](\frac{a_n}{a_{n-1}})^{-1}=q^{-1}\\
\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{1}{q}\\
\frac{\frac{1}{a_n}}{\frac{1}{a_{n-1}}}=\frac{1}{q}[/tex3]

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[tex3](\frac{a_n}{a_{n-1}})^{-1}=q^{-1}\\
\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{1}{q}\\
\frac{\frac{1}{a_n}}{\frac{1}{a_{n-1}}}=\frac{1}{q}[/tex3]

Então, se [tex3](a_1,a_2,a_3,...)[/tex3]

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[tex3](a_1,a_2,a_3,...)[/tex3]

é [tex3]P.G.[/tex3]

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[tex3]P.G.[/tex3]

, [tex3](\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3},...)[/tex3]

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[tex3](\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3},...)[/tex3]

também é, com razão igual a [tex3]\frac{1}{q}.[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{q}.[/tex3]

FLWs. =D

[Chris]

Teoricamente não está muito certo, porque em matemática, se uma coisa funciona para os dois primeiros termos, não se pode simplesmente generalizar para todos.

O que você poderia fazer é o seguinte:

Da sua primeira PG, temos que [tex3]a_n = a_1*q^{n-1}[/tex3]

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[tex3]a_n = a_1*q^{n-1}[/tex3]

.

Agora chamemos a sua segunda sequência de [tex3](b_1; b_2; b_3; b_4; b_5;...)[/tex3]

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[tex3](b_1; b_2; b_3; b_4; b_5;...)[/tex3]

, aonde [tex3]b_n = \frac{1}{a_n}[/tex3]

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[tex3]b_n = \frac{1}{a_n}[/tex3]

.

Portanto [tex3]b_n = \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1*q^{n-1}}[/tex3]

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[tex3]b_n = \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1*q^{n-1}}[/tex3]

.

Como [tex3]\frac{1}{a_1} = b_1[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{a_1} = b_1[/tex3]

, podemos dizer que:

[tex3]b_n = b_1*(\frac{1}{q})^{n-1}[/tex3]

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[tex3]b_n = b_1*(\frac{1}{q})^{n-1}[/tex3]

, o que caracteriza uma PG.

[brain_tnt]

Resolução simples e bonita.
Valeu Chris. =D