Pré-Vestibular(MAUÁ - 1981) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

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jose carlos de almeida
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(MAUÁ - 1981) Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por jose carlos de almeida » Qui 07 Dez, 2006 16:10

No triângulo ABC, G é o ponto de intersecção das medianas BB' e CC'; M e N são os pontos médios de BG e CG, respectivamente. Sendo BC\,=\,12\,\text{m},\, AB\,=\,6\,\text{m} e A\hat{B}C\,=\,60^{\circ}, determinar:

a) a área do triângulo ABC;
b) a área do quadrilátero MNB'C'

Última edição: jose carlos de almeida (Qui 07 Dez, 2006 16:10). Total de 3 vezes.


JOSE CARLOS

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caju
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Re: (MAUÁ - 1981) Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por caju » Qui 07 Dez, 2006 17:22

Olá José,

Desenhando a figura descrita no enunciado, temos:
AA45.png
AA45.png (15.21 KiB) Exibido 469 vezes
A primeira pergunta é a área do triângulo ABC. Aplicamos a fórmula trigonométrica da área de um triângulo:

A = \frac{12\cdot 6\cdot\sin(60^{\circ})}{2}

A = 18\sqrt{3}

G é o baricentro, ou seja, C'G tem comprimento igual a \frac{1}{3} de C'C.

Primeira coisa que devemos saber é que, já que CC' é mediana, então C' é ponto médio de AB. Assim, podemos concluir que o triângulo BCC' tem área igual à metade da área de ABC, ou seja, A_{BCC'} = 9\sqrt{3}

Agora olhamos para os triângulos BCC' e MCC' (este não está desenhado, imagine-o).

Já que M é o ponto médio de BG, implica que a altura do triângulo MCC' é metade da altura do triângulo BCC' (veja que não estou dizendo que a altura do triângulo BCC' é BG, mas a altura segue a mesma proporção de BG cortado por M). Portanto, a área de MCC' é a metade da área de BCC', ou seja, A_{MCC'} = \frac{9\sqrt{3}}{2}.

Agora olhamos para os triângulos MCC' e MNC'. Pela propriedade do baricentro, sabemos que GC é \frac{2}{3} de C'C. Já que NC é \frac{1}{2} de GC, então C'N vale \frac{2}{3} de C'C também. Ou seja, a área do triângulo MNC' é \frac{2}{3} da área do triângulo MCC', ou seja, A_{MNC'} = \frac{2}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

Com este mesmo raciocínio, encontramos o valor da área A_{ACC'}=3\sqrt{3}.

Somando as duas áreas encontradas, temos a área do quadrilátero pedido:

A_{MNB'C'}=6\sqrt{3}.

Última edição: caju (Qui 07 Dez, 2006 17:22). Total de 3 vezes.


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