Olá José,
Desenhando a figura descrita no enunciado, temos:
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A primeira pergunta é a área do triângulo [tex3]ABC.[/tex3]
Aplicamos a fórmula trigonométrica da área de um triângulo:
[tex3]A = \frac{12\cdot 6\cdot\sin(60^{\circ})}{2}[/tex3]
[tex3]A = 18\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]G[/tex3]
é o baricentro, ou seja, [tex3]C'G[/tex3]
tem comprimento igual a [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
de [tex3]C'C.[/tex3]
Primeira coisa que devemos saber é que, já que [tex3]CC'[/tex3]
é mediana, então [tex3]C'[/tex3]
é ponto médio de [tex3]AB.[/tex3]
Assim, podemos concluir que o triângulo [tex3]BCC'[/tex3]
tem área igual à metade da área de [tex3]ABC,[/tex3]
ou seja, [tex3]A_{BCC'} = 9\sqrt{3}[/tex3]
Agora olhamos para os triângulos [tex3]BCC'[/tex3]
e [tex3]MCC'[/tex3]
(este não está desenhado, imagine-o).
Já que [tex3]M[/tex3]
é o ponto médio de [tex3]BG,[/tex3]
implica que a altura do triângulo [tex3]MCC'[/tex3]
é metade da altura do triângulo [tex3]BCC'[/tex3]
(veja que não estou dizendo que a altura do triângulo [tex3]BCC'[/tex3]
é [tex3]BG,[/tex3]
mas a altura segue a mesma proporção de [tex3]BG[/tex3]
cortado por [tex3]M).[/tex3]
Portanto, a área de [tex3]MCC'[/tex3]
é a metade da área de [tex3]BCC',[/tex3]
ou seja, [tex3]A_{MCC'} = \frac{9\sqrt{3}}{2}[/tex3]
.
Agora olhamos para os triângulos [tex3]MCC'[/tex3]
e [tex3]MNC'.[/tex3]
Pela propriedade do baricentro, sabemos que [tex3]GC[/tex3]
é [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
de [tex3]C'C.[/tex3]
Já que [tex3]NC[/tex3]
é [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
de [tex3]GC,[/tex3]
então [tex3]C'N[/tex3]
vale [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
de [tex3]C'C[/tex3]
também. Ou seja, a área do triângulo [tex3]MNC'[/tex3]
é [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
da área do triângulo [tex3]MCC',[/tex3]
ou seja, [tex3]A_{MNC'} = \frac{2}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}[/tex3]
.
Com este mesmo raciocínio, encontramos o valor da área [tex3]A_{ACC'}=3\sqrt{3}[/tex3]
.
Somando as duas áreas encontradas, temos a área do quadrilátero pedido:
[tex3]A_{MNB'C'}=6\sqrt{3}[/tex3]
.