Pré-Vestibular(FUVEST - 2005) Análise Combinatória Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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eduardo26
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(FUVEST - 2005) Análise Combinatória

Mensagem não lida por eduardo26 »

Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.

Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
Resposta

17.resposta

Última edição: eduardo26 (Sex 19 Out, 2012 09:27). Total de 2 vezes.



roberto
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Out 2012 19 11:45

Re: (FUVEST - 2005) Análise Combinatória

Mensagem não lida por roberto »

Existem h homens.
Como eles se cumprimentam na chegada e na saída, então temos: [tex3]2.C_{h}^{2}[/tex3]
cumprimentos!!!
Agora, entre um homem e uma mulher, temos: [tex3]h(37-h)[/tex3] cumprimentos!
Somando tudo dá: [tex3]2C_{h}^{2}+h(37-h)=720[/tex3]
resolvendo a equação dá: 20 homens

Última edição: caju (Qua 22 Mai, 2019 18:23). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



gabrielbpf
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Out 2012 19 12:06

Re: (FUVEST - 2005) Análise Combinatória

Mensagem não lida por gabrielbpf »

Olá!

Nossa! Tive que pensar muito até perceber que não era tão complicado assim...

Vamos lá:

O número de acenos será dado pelo número de pares formados entre mulheres multiplicado por dois (pois é o cumprimento e a despedida) somado ao número de pares formados entre um homem e uma mulher multiplicado por um (pois é apenas a saída!).

O número de pares formados apenas entre mulheres é uma combinação de um número indefinido (justamente o procurado) dois a dois (pois há intersecções)... Já o número de pares formados entre uma mulher e um homem pode ser definido mais facilmente por não haver intersecção entre os dois conjuntos (logicamente, supomos que não há um hermafrodita nessa situação...), sendo a multiplicação do número de mulheres pelo de homens!

Representando matematicamente tudo o que foi escrito acima, teremos:

[tex3]\operatorname{N}_{acenos}=2\cdot C_{x,2}+x\cdot y \ \ (\operatorname{I})[/tex3] , seja [tex3]x[/tex3] o número de mulheres e [tex3]y[/tex3] , o de homens...

Logicamente, o número de acenos é o número de cumprimentos, que é dado pela combinação de todas as pessoas duas a duas multiplicado por dois (entrada e saída), subtraído do número de apertos de mãos.
[tex3]\operatorname{N}_{acenos}=2\cdot C_{37,2}-720 \ \ (\operatorname{II})[/tex3]

Sabe-se também que [tex3]x+y=37[/tex3]

Igualando [tex3](\operatorname{I})[/tex3] e [tex3](\operatorname{II})[/tex3] :

[tex3]2\cdot C_{37,2}-720=2\cdot C_{x,2}+xy \longrightarrow \\ \\ \\ 2\cdot\frac{37!}{2!(37-2)!}-720=2\cdot \frac{x!}{2!(x-2)!}+x(37-x) \\ \\ \\ 1332-720=\cancel{2}\cdot \frac{x(x-1)\cancel{(x-2)!}}{\cancel{2\cdot 1}\cdot \cancel{(x-2)!}}+37x-x^2 \\ \\ \\ \longrightarrow \ 612=x^2-x+37x-x^2 \\ \\ \\ \therefore x=17[/tex3]

Fui o mais detalhado possível!

Abraços!
Última edição: caju (Qua 22 Mai, 2019 18:23). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



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poti
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Out 2012 19 14:08

Re: (FUVEST - 2005) Análise Combinatória

Mensagem não lida por poti »

Boa resolução gabrielbpf.


VAIRREBENTA!

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Madu1
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Mai 2020 20 23:09

Re: (FUVEST - 2005) Análise Combinatória

Mensagem não lida por Madu1 »

Por que o cumprimento de homens e mulheres é dado pelo produto entre eles e não por uma combinação?



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MateusQqMD
5 - Mestre
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Mai 2020 21 11:59

Re: (FUVEST - 2005) Análise Combinatória

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Olá, Madu1.

Pode ser dado por combinação, mas não é muito interessante calcular dessa forma..

Sendo [tex3]x[/tex3] a quantidade de mulheres e [tex3]y[/tex3] a quantidade de homens, a quantidade de apertos de mão entre homens e mulheres é

[tex3]\begin{align}C^2_{x+y} - C^2_x - C^2_y &= \frac{(x+y)!}{2!(x+y-2)! } - \frac{x!}{2!(x-2)!} - \frac{y!}{2!(y-2)!} \\ & = \frac{(x+y)(x+y-1) }{2} - \frac{x(x-1)}{2} - \frac{y(y-1)}{2} \\ & = xy\end{align}, [/tex3]



isto é, computa-se a quantidade total de apertos de mão e, em seguida, retira-se os casos não favoráveis.

Mas a ideia proposta pelo colega gabrielbpf não foi essa. O Princípio Fundamental da Multiplicação estabelece que se uma decisão d1 pode ser tomada de [tex3]x[/tex3] maneiras (escolha da mulher) e, depois disso, uma decisão d2 pode ser tomada de [tex3]y[/tex3] maneiras (escola do homem), então o número de maneiras de tomar d1 e d2 é [tex3]xy.[/tex3]

Veja se ficou mais claro.

Última edição: MateusQqMD (Sex 22 Mai, 2020 19:58). Total de 1 vez.
Razão: arrumar pontuação.


"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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