Pré-Vestibular(UFPB - 2003) Função Inversa Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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leozinho
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(UFPB - 2003) Função Inversa

Mensagem não lida por leozinho »

Considere a função [tex3]f: [0, + \infty) \to [12, +\infty)[/tex3] dada por [tex3]f(x) = x^2 + 2kx + k^2 - 4,[/tex3] onde a constante real [tex3]k[/tex3] faz com que a função [tex3]f(x)[/tex3] admita inversa. Sabendo-se que [tex3]g(x)[/tex3] é a função inversa de [tex3]f(x),[/tex3] o valor de [tex3]g(21)[/tex3] é:

a) 1
b) 4
c) 9
d) -1
e) -9

Última edição: MateusQqMD (Dom 05 Jul, 2020 21:53). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



John
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Nov 2007 11 16:06

Re: (UFPB - 2003) Função Inversa

Mensagem não lida por John »

Seja [tex3]k[/tex3] tal que a função [tex3]f :[0, +\infty) \to [12, +\infty)[/tex3] seja uma bijeção.

Devemos ter [tex3]x_v \leq 0[/tex3] (para que [tex3]f[/tex3] seja injetora), ou seja,
  • [tex3]{-}\frac{2k}{2} \leq 0 \Rightarrow k \geq 0.[/tex3]
Como [tex3]f[/tex3] representa uma parábola e [tex3]f :[0, +\infty) \to [12, +\infty)[/tex3] é uma bijeção, [tex3]f[/tex3] é estritamente crescente em [tex3][0, +\infty),[/tex3] e assim devemos ter [tex3]f(0) = 12,[/tex3] ou seja,
  • [tex3]k^2 - 4 = 12[/tex3] e [tex3]k \geq 0 \Rightarrow k = 4.[/tex3]
Daí, [tex3]f(x) = x^2 + 8x +12.[/tex3] Resolvendo a equação [tex3]f(x) = 21,[/tex3] encontramos [tex3]x=-9[/tex3] ou [tex3]x = 1.[/tex3] Como [tex3]f[/tex3] está definida em [tex3][0, +\infty),[/tex3] temos que [tex3]f(1)=21.[/tex3]

Portanto, [tex3]g(21) = 1.[/tex3]

Alternativa (a).

Última edição: MateusQqMD (Dom 05 Jul, 2020 21:55). Total de 3 vezes.
Razão: tex --> tex3



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Jhonatan
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Jul 2020 05 21:49

Re: (UFPB - 2003) Função Inversa

Mensagem não lida por Jhonatan »

olá, pessoal.
por favor, alguém poderia me explicar o porquê de o Xv ≤ 0 ? Não consegui compreender. Pra mim, o vértice teria que ser menor ou igual a 0, pra parábola intersectar o eixo X. Logo, Yv ≤ 0, mas o Xv não teria uma restrição específica.




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