me ajudem a fazer essa questão pro favor?
Seja p(x)=[tex3]p_0 + p_1x + p_2x^2[/tex3]
+....+[tex3]p_nx^n[/tex3]
um polinomio de grau n cujos coeficientes [tex3]p_0[/tex3]
,[tex3]p_1[/tex3]
,...,[tex3]p_n[/tex3]
estão em Progressão Geometrica.Determine todos os valores de n para os quais o polinomio p(x) não possui raiz real
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HEITORSONIC 
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(UFC - 1998) Polinômios
Última edição: HEITORSONIC (Dom 03 Jul, 2011 10:49). Total de 1 vez.
Ago 2011
14
15:42
Re: (UFC - 1998) Polinômios
Bom não acho que o que fiz esteja correto mais aí vai:
[tex3]p_{(x)}=\frac{p(1-x^n)}{1-x}[/tex3] Fórmula da soma dos termos da P.G.
[tex3]x=i\sqrt{k}[/tex3]
se [tex3]i\sqrt{k}[/tex3] é raiz então:
[tex3]0=\frac{p[1-(i\sqrt{k})^{n}]}{1-(i\sqrt{k})}[/tex3]
[tex3]1-(i\sqrt{k})^{n}=0[/tex3]
[tex3]i\sqrt{k}=1^{\frac{1}{n}[/tex3]
[tex3]sqrt{k}=\frac{1^{\frac{1}{n}}}{i}[/tex3]
[tex3]k=\frac{1^{\frac{2}{n}}}{i^2}[/tex3]
[tex3]k=-(1^{\frac{2}{n}})[/tex3] porém [tex3]k[/tex3] tem que ser um número positivo porque se ele for negativo não haverá parte imaginária em [tex3]i\sqrt{k}[/tex3] .
Portanto eu creio que não existem valores de [tex3]n[/tex3] que atendam as condições dadas.
Se alguém conseguir fazer diferente por favor postem, pois eu também fiquei curioso quanto a essa questão.
vlw/abraços.
[tex3]p_{(x)}=\frac{p(1-x^n)}{1-x}[/tex3] Fórmula da soma dos termos da P.G.
[tex3]x=i\sqrt{k}[/tex3]
se [tex3]i\sqrt{k}[/tex3] é raiz então:
[tex3]0=\frac{p[1-(i\sqrt{k})^{n}]}{1-(i\sqrt{k})}[/tex3]
[tex3]1-(i\sqrt{k})^{n}=0[/tex3]
[tex3]i\sqrt{k}=1^{\frac{1}{n}[/tex3]
[tex3]sqrt{k}=\frac{1^{\frac{1}{n}}}{i}[/tex3]
[tex3]k=\frac{1^{\frac{2}{n}}}{i^2}[/tex3]
[tex3]k=-(1^{\frac{2}{n}})[/tex3] porém [tex3]k[/tex3] tem que ser um número positivo porque se ele for negativo não haverá parte imaginária em [tex3]i\sqrt{k}[/tex3] .
Portanto eu creio que não existem valores de [tex3]n[/tex3] que atendam as condições dadas.
Se alguém conseguir fazer diferente por favor postem, pois eu também fiquei curioso quanto a essa questão.
vlw/abraços.
Última edição: lecko (Dom 14 Ago, 2011 15:42). Total de 1 vez.
Ago 2011
14
16:49
Re: (UFC - 1998) Polinômios
Eu não sei de onde você tirou [tex3]x = i\sqrt{k}[/tex3]
. Sem contar que o certo seria [tex3]x^{n+1}[/tex3]
, pois são [tex3]n + 1[/tex3]
termos ([tex3]p_{0}[/tex3]
está multiplicando [tex3]x^{0}[/tex3]
).
Última edição: poti (Dom 14 Ago, 2011 16:49). Total de 1 vez.
VAIRREBENTA!
Ago 2011
15
13:12
Re: (UFC - 1998) Polinômios
[tex3]S=a_1+a_1q+...+a1.q^{n-2}+a_1.q^{n-1}[/tex3]
e [tex3]qS=a_1.q+a_1q^2+...+a1.q^{n-1}+a_1.q^{n}[/tex3]
fazendo [tex3]S-Sq[/tex3] :
[tex3]S-Sq=a_1-a_1.q^n[/tex3]
[tex3]S(1-q)=a_1(1-q^n)[/tex3]
[tex3]S=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}[/tex3] .
Bom eu me equivoquei alí em cima e cometi um erro muito grave que foi considerando isso:
[tex3]P_{(x)}=p_0+p_0.x+p_0.x^2+...+p_0.x^n[/tex3] , foi esse meu erro... eu achei que quem estava em P.G. era o [tex3]X[/tex3] , porém quem está em P.G. é o [tex3]p[/tex3] .
Sendo assim o que fiz acima está totalmente errado.
e a forma de um número complexo é:
[tex3]a \pm bi[/tex3] (o que errei também.)
e [tex3]qS=a_1.q+a_1q^2+...+a1.q^{n-1}+a_1.q^{n}[/tex3]
fazendo [tex3]S-Sq[/tex3] :
[tex3]S-Sq=a_1-a_1.q^n[/tex3]
[tex3]S(1-q)=a_1(1-q^n)[/tex3]
[tex3]S=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}[/tex3] .
Bom eu me equivoquei alí em cima e cometi um erro muito grave que foi considerando isso:
[tex3]P_{(x)}=p_0+p_0.x+p_0.x^2+...+p_0.x^n[/tex3] , foi esse meu erro... eu achei que quem estava em P.G. era o [tex3]X[/tex3] , porém quem está em P.G. é o [tex3]p[/tex3] .
Sendo assim o que fiz acima está totalmente errado.
e a forma de um número complexo é:
[tex3]a \pm bi[/tex3] (o que errei também.)
Última edição: lecko (Seg 15 Ago, 2011 13:12). Total de 1 vez.
Ago 2011
15
13:27
Re: (UFC - 1998) Polinômios
Aí vai uma outra forma que também não sei se está correta:
[tex3]P_{(x)}=p_0+p_1x+p_2x^2+...+p_nx^n[/tex3]
Como [tex3]p[/tex3] está em P.G. temos que são os seguintes:
[tex3]\{p_0;p_0.q;p_0.q^2;...;p_0q^n}\[/tex3] subistituindo acima em [tex3]P_{(x)}[/tex3] temos :
[tex3]P_{(x)}=p_0+p_0qx+p_0q^2x^2+...+p_0q^nx^n[/tex3] temos então uma [tex3]P.G.[/tex3] com razão [tex3]qx[/tex3]
jogando na soma:
[tex3]P_{(x)}=\frac{p_0[1-(qx)^n]}{1-qx}[/tex3]
como [tex3]x[/tex3] tem que ser complexo temos a seguinte raiz:[tex3]a \pm bi=M[/tex3]
substituindo na equação ela deve zerar pois é raiz:
[tex3]0=\frac{p_0[1-(qM)^n]}{1-M}[/tex3]
assim teremos que [tex3]1-(qM)^n=0[/tex3]
[tex3](qM)^n=1[/tex3] assim o único valor que sempre torna isso verdade é [tex3]0[/tex3] ou seja até aqui teríamos [tex3]1[/tex3] valor, porém:
[tex3]qM=1^{\frac{1}{n}}[/tex3] o que nos diz que [tex3]n[/tex3] pode ser qualquer valor pois [tex3]1[/tex3] elevado a qualquer potência ou raiz é sempre [tex3]1[/tex3] , assim temos infinitos valores.
Contudo acho que somente [tex3]1[/tex3] valor sempre torna isso possível, no caso o [tex3]0[/tex3] , logo eu responderia a questão como somente [tex3]1[/tex3] valor.
Não sei ao certo se alguém aí conseguir fazer me avisa por [tex3]MP[/tex3] .
Bom não sei se está certo mas tá aí o que tentei fazer..
espero ter ajudado.
[tex3]P_{(x)}=p_0+p_1x+p_2x^2+...+p_nx^n[/tex3]
Como [tex3]p[/tex3] está em P.G. temos que são os seguintes:
[tex3]\{p_0;p_0.q;p_0.q^2;...;p_0q^n}\[/tex3] subistituindo acima em [tex3]P_{(x)}[/tex3] temos :
[tex3]P_{(x)}=p_0+p_0qx+p_0q^2x^2+...+p_0q^nx^n[/tex3] temos então uma [tex3]P.G.[/tex3] com razão [tex3]qx[/tex3]
jogando na soma:
[tex3]P_{(x)}=\frac{p_0[1-(qx)^n]}{1-qx}[/tex3]
como [tex3]x[/tex3] tem que ser complexo temos a seguinte raiz:[tex3]a \pm bi=M[/tex3]
substituindo na equação ela deve zerar pois é raiz:
[tex3]0=\frac{p_0[1-(qM)^n]}{1-M}[/tex3]
assim teremos que [tex3]1-(qM)^n=0[/tex3]
[tex3](qM)^n=1[/tex3] assim o único valor que sempre torna isso verdade é [tex3]0[/tex3] ou seja até aqui teríamos [tex3]1[/tex3] valor, porém:
[tex3]qM=1^{\frac{1}{n}}[/tex3] o que nos diz que [tex3]n[/tex3] pode ser qualquer valor pois [tex3]1[/tex3] elevado a qualquer potência ou raiz é sempre [tex3]1[/tex3] , assim temos infinitos valores.
Contudo acho que somente [tex3]1[/tex3] valor sempre torna isso possível, no caso o [tex3]0[/tex3] , logo eu responderia a questão como somente [tex3]1[/tex3] valor.
Não sei ao certo se alguém aí conseguir fazer me avisa por [tex3]MP[/tex3] .
Bom não sei se está certo mas tá aí o que tentei fazer..
espero ter ajudado.
Última edição: lecko (Seg 15 Ago, 2011 13:27). Total de 1 vez.
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Deleted User 23699
- Última visita: 31-12-69
Fev 2020
24
16:52
Re: (UFC - 1998) Polinômios
Olá
Nota-se que o polinomio é da forma
P(x) = po + poqx + poq^2x^2 +...
Ele nao especificou q (razão), entao supomos que a propriedade "Nao ter raiz real" deve ser para todos os q.
Podemos supor um valor de q e buscar valores q anulem a propriedade citada
O primeiro q que veio em minha cabeça foi 1 ou seja a pg é constante
Fazendo isso, se paramos em n = 3, percebemos que o polinomio possui raiz 1.
Com n = 2 e n = 4 obtemos apenas raizes complexas
Isso nos permite conjecturar que P(x) nao possui raiz real somente se n é par
Algum colega poderá fazer a demonstraçao mais rigorosa.
Nota-se que o polinomio é da forma
P(x) = po + poqx + poq^2x^2 +...
Ele nao especificou q (razão), entao supomos que a propriedade "Nao ter raiz real" deve ser para todos os q.
Podemos supor um valor de q e buscar valores q anulem a propriedade citada
O primeiro q que veio em minha cabeça foi 1 ou seja a pg é constante
Fazendo isso, se paramos em n = 3, percebemos que o polinomio possui raiz 1.
Com n = 2 e n = 4 obtemos apenas raizes complexas
Isso nos permite conjecturar que P(x) nao possui raiz real somente se n é par
Algum colega poderá fazer a demonstraçao mais rigorosa.
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