Pré-Vestibular ⇒ [FUVEST/1997] Inequação Tópico resolvido

[orochi]

Considere a função f dada por:

[tex3]\large f(x) = \frac{x+5 - \frac{12}{x+1}}{\frac{x+9}{x+1}-\frac{5}{x}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\large f(x) = \frac{x+5 - \frac{12}{x+1}}{\frac{x+9}{x+1}-\frac{5}{x}}[/tex3]

a) Determine o domínio de [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

b) Resolva a inequação [tex3]f(x) > 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) > 0[/tex3]

[fabit]

a) Restrições [tex3]x\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\neq 0[/tex3]

, [tex3]x+1\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+1\neq 0[/tex3]

e [tex3]\frac{x+9}{x+1}-\frac{5}{x}\neq0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+9}{x+1}-\frac{5}{x}\neq0[/tex3]

.

A primeira já tá pronta. A segunda fica [tex3]x\neq-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\neq-1[/tex3]

. Já a terceira, em conjunto com as anteriores, fica...
[tex3]\frac{x+9}{x+1}\neq\frac{5}{x}\Rightarrow x(x+9)\neq5(x+1)[/tex3]

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[tex3]\frac{x+9}{x+1}\neq\frac{5}{x}\Rightarrow x(x+9)\neq5(x+1)[/tex3]

[tex3]x^2+9x\neq5x+5\Rightarrow x^2+9x-5x-5\neq0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+9x\neq5x+5\Rightarrow x^2+9x-5x-5\neq0[/tex3]

[tex3]x^2+4x-5\neq0\Rightarrow(x+5)(x-1)\neq0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+4x-5\neq0\Rightarrow(x+5)(x-1)\neq0[/tex3]

Portanto [tex3]x\neq-5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\neq-5[/tex3]

e [tex3]x\neq1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\neq1[/tex3]

.

Resposta [tex3]\boxed{Dom(f)=\mathbb{R}-\{-5,-1,0,1\}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{Dom(f)=\mathbb{R}-\{-5,-1,0,1\}}[/tex3]

b) [tex3]f(x)=\(x+5-\frac{12}{x+1}\)\times\frac{1}{\(\frac{x+9}{x+1}-\frac{5}{x}\)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\(x+5-\frac{12}{x+1}\)\times\frac{1}{\(\frac{x+9}{x+1}-\frac{5}{x}\)}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(x+5)(x+1)-12}{x+1}\times\(\frac{x(x+1)}{x(x+9)-5(x+1)}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{(x+5)(x+1)-12}{x+1}\times\(\frac{x(x+1)}{x(x+9)-5(x+1)}\)[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{x^2+6x+5-12}{x+1}\times\frac{x^2+x}{x^2+9x-5x-5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{x^2+6x+5-12}{x+1}\times\frac{x^2+x}{x^2+9x-5x-5}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{x^2+6x-7}{x+1}\times\frac{x^2+x}{x^2+4x-5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{x^2+6x-7}{x+1}\times\frac{x^2+x}{x^2+4x-5}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(x+7)(x-1)}{x+1}\times\frac{x(x+1)}{(x+5)(x-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{(x+7)(x-1)}{x+1}\times\frac{x(x+1)}{(x+5)(x-1)}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{x(x+7)}{x+5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{x(x+7)}{x+5}[/tex3]

para os valores de x que pertencem ao domínio encontrado no item "a"

A partir deste ponto fica uma análise de inequação quociente (e produto):

O estudo de sinal vai dar -+-+ com viradas de sinal em 0, -5 e -7. Como queremos f>0, ficamos com os intervalos entre -7 e -5 e depois do 0.

Resposta [tex3]\boxed{-7<x<-5\vee x>0}[/tex3]

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[tex3]\boxed{-7<x<-5\vee x>0}[/tex3]

[orochi]

Perfeito, muito obrigado!

[Jhonatan]

fabit, desculpe voltar à questão, mas estou com uma dúvida.
no numerador x + 5 você considerou que x tem que ser diferente de 0. Porém, o x ali não poderia assumir qualquer valor real ?
Pra mim teríamos como solução: R - { -5, -1, 1}

letra a)

[Killin]

Pra mim teríamos como solução: R - { -5, -1, 1}

Aé? E o [tex3]\frac{5}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{x}[/tex3]

? Sem problema ter zero no denominador? Rs

[Jhonatan]

Killin, nesse caso é claro que há problemas. Mas ele resolveu o denominador em 1 parte. O total foram 3, entende ? A primeira que não entendi. Pra mim, no x + 5 o x poderia assumir qualquer valor real, aí nas outras 2 partes que colocaria a restrição de serem diferentes de zero.
Mesmo considerando x + 5 diferente de zero, teríamos x diferente de -5 e não de 0.
Entende o que quero dizer ?

[Killin]

Entende o que quero dizer ?

Não. Vê com calma a questão. Tem 4 frações lá e cada uma deve ter seu denominador restringido.

[Jhonatan]

Veja, killin: se pusermos o valor de x = 0 e substituirmos na equação, utilizando esse valor em todos os x, não teremos problemas, pois haverá o valor de 9 no denominador e -7 no numerador. Então, o zero não deveria ser restrito.
Desculpe minhas burrices, estou com certa dificuldade nessa questão.

[Killin]

Jhonatan, ah ok. Entendi o que você tá errando.

Veja um exemplo: seja [tex3]f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}[/tex3]

e [tex3]g(x)=x-2[/tex3]

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[tex3]g(x)=x-2[/tex3]

. Essas funções são iguais?


A resposta é não. Elas são iguais em todos os pontos exceto para x = -2, onde f(x) é quebrada, não existe imagem naquele ponto. Então podemos dizer o domínio de f(x) = R -{2} e o domínio de g(x) não tem restrição = R.


Entendeu porque precisamos restringir antes o domínio da função? Pois podemos no caminho acabar fazendo simplificações e deixando algumas falhas.

[fabit]

Killin, vou complementar o que o Jhonatan está dizendo quando compara f e g do post acima. Plote-as no Desmos e veja que g é uma reta "completa" e f é uma reta "furada" (na verdade a união de duas "semirretas opostas reduzidas da origem"). Isso será muito utilizado em Cálculo se você for ver essa disciplina. Você será perguntado o LIMITE quando x tende para aquele valor onde está o buraco. Na f fica 0/0 e na g você descobre a resposta.