- ufrj.JPG (9.9 KiB) Exibido 3739 vezes
Resposta
[tex3]45^\circ[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ - 2001) Geometria Plana
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
Flavio2008 
- Mensagens: 107
- Registrado em: Ter 29 Mai, 2007 17:43
- Última visita: 21-05-13
Dez 2009
19
21:30
(UFRJ - 2001) Geometria Plana
O retângulo [tex3]ABCD[/tex3]
está inscrito no retângulo [tex3]WXYZ[/tex3]
como mostra a figura.
Sabendo que [tex3]AB=2[/tex3] e [tex3]AD=1[/tex3] , determine o ângulo [tex3]\theta[/tex3] para que a área de [tex3]WXYZ[/tex3] seja a menor possível.
[tex3]45^\circ[/tex3]
Sabendo que [tex3]AB=2[/tex3] e [tex3]AD=1[/tex3] , determine o ângulo [tex3]\theta[/tex3] para que a área de [tex3]WXYZ[/tex3] seja a menor possível.
[tex3]45^\circ[/tex3]
Última edição: Flavio2008 (Sáb 19 Dez, 2009 21:30). Total de 1 vez.
Fev 2010
24
11:31
Re: (UFRJ - 2001) Geometria Plana
Enunciado copiado errado.
É para que a área de WXYZ seja a maior possível. Do contrário, o mínimo é atingido trivialmente com ângulo nulo.
É simples deduzir que o ângulo [tex3]\theta[/tex3] aparece também em [tex3]C\hat{B}Y[/tex3] , [tex3]D\hat{C}Z[/tex3] e [tex3]A\hat{D}W[/tex3] .
Temos [tex3]WA=DA\sin\theta[/tex3] e [tex3]AX=AB\cos\theta[/tex3] . Logo [tex3]WX=AD\sin\theta+AB\cos\theta[/tex3] .
Analogamente se extrai [tex3]XY=AB\sin\theta+BC\cos\theta[/tex3] .
A área [tex3]S[/tex3] de WXYZ é o produto [tex3]WX.XY=(AD\sin\theta+AB\cos\theta)(AB\sin\theta+BC\cos\theta)[/tex3]
Como BC=AD, [tex3]S=AB.AD\sin^2\theta+AD^2\sin\theta\cos\theta+AB^2\sin\theta\cos\theta+AB.AD\cos^2\theta[/tex3]
Com AB.AD em evidência e usando [tex3]\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta[/tex3] ficamos com
[tex3]S=AB.AD(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+(AB^2+AD^2)\frac{\sin2\theta}{2}=K+L\sin2\theta[/tex3] , onde K e L são constantes.
Isso diz que S é máxima quando o seno for máximo. E esse máximo é 1, cuja obtenção se dá quando [tex3]2\theta=\frac{\pi}{2}[/tex3] Logo [tex3]\theta=45^\circ[/tex3]
É para que a área de WXYZ seja a maior possível. Do contrário, o mínimo é atingido trivialmente com ângulo nulo.
É simples deduzir que o ângulo [tex3]\theta[/tex3] aparece também em [tex3]C\hat{B}Y[/tex3] , [tex3]D\hat{C}Z[/tex3] e [tex3]A\hat{D}W[/tex3] .
Temos [tex3]WA=DA\sin\theta[/tex3] e [tex3]AX=AB\cos\theta[/tex3] . Logo [tex3]WX=AD\sin\theta+AB\cos\theta[/tex3] .
Analogamente se extrai [tex3]XY=AB\sin\theta+BC\cos\theta[/tex3] .
A área [tex3]S[/tex3] de WXYZ é o produto [tex3]WX.XY=(AD\sin\theta+AB\cos\theta)(AB\sin\theta+BC\cos\theta)[/tex3]
Como BC=AD, [tex3]S=AB.AD\sin^2\theta+AD^2\sin\theta\cos\theta+AB^2\sin\theta\cos\theta+AB.AD\cos^2\theta[/tex3]
Com AB.AD em evidência e usando [tex3]\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta[/tex3] ficamos com
[tex3]S=AB.AD(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+(AB^2+AD^2)\frac{\sin2\theta}{2}=K+L\sin2\theta[/tex3] , onde K e L são constantes.
Isso diz que S é máxima quando o seno for máximo. E esse máximo é 1, cuja obtenção se dá quando [tex3]2\theta=\frac{\pi}{2}[/tex3] Logo [tex3]\theta=45^\circ[/tex3]
Última edição: fabit (Qua 24 Fev, 2010 11:31). Total de 1 vez.
SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 2 Respostas
- 503 Exibições
-
Última msg por brunocbbc
-
- 0 Respostas
- 810 Exibições
-
Última msg por inguz
-
- 7 Respostas
- 7098 Exibições
-
Última msg por mclaratrajano
-
- 0 Respostas
- 760 Exibições
-
Última msg por inguz
-
- 4 Respostas
- 1625 Exibições
-
Última msg por albeistein
