Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST-SP) Seqüência Tópico resolvido
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danjr5
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Jul 2009
10
15:44
(FUVEST-SP) Seqüência
Dado um quadrado [tex3]\left\{Q_1\right\}[/tex3]
cujo lado tem comprimento [tex3]\ell=1[/tex3]
, considere a sequência infinita de quadrados [tex3]\left\{Q_1, Q_2, Q_3, ...\right\}[/tex3]
em que cada quadrado é obtido unindo-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Qual é a soma das áreas de todos os quadrados da sequência?
Última edição: ALDRIN (Ter 05 Jul, 2022 11:03). Total de 3 vezes.
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Auto Excluído (ID:3002)
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Jul 2009
10
20:06
Re: (FUVEST-SP) Seqüência
Lado do quadrado [tex3]Q_1[/tex3]
: [tex3]l_1=l[/tex3]
Lado do quadrado [tex3]Q_2[/tex3] : [tex3]l_2=\frac{l}{\sqrt2}[/tex3]
Lado do quadrado [tex3]Q_3[/tex3] : [tex3]l_3=\frac{l}{\sqrt2^2}[/tex3]
Lado do quadrado [tex3]Q_4[/tex3] : [tex3]l_4=\frac{l}{\sqrt2^3}[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
Lado do quadrado [tex3]Q_n[/tex3] : [tex3]l_n=\frac{l}{\sqrt2^{(n-1)}}[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
Daí,
área do quadrado [tex3]Q_1[/tex3] vale: [tex3]l^2[/tex3]
área do quadrado [tex3]Q_2[/tex3] vale: [tex3]\frac{l^2}{2}[/tex3]
área do quadrado [tex3]Q_3[/tex3] vale: [tex3]\frac{l^2}{2^2}[/tex3]
área do quadrado [tex3]Q_4[/tex3] vale: [tex3]\frac{l^2}{2^3}[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
área do quadrado [tex3]Q_n[/tex3] vale: [tex3]\frac{l^2}{2^{(n-1)}}[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
Como [tex3]l=1[/tex3] temos que a soma das áreas de todos os quadrados da sequência vale:
[tex3]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2[/tex3]
Lado do quadrado [tex3]Q_2[/tex3] : [tex3]l_2=\frac{l}{\sqrt2}[/tex3]
Lado do quadrado [tex3]Q_3[/tex3] : [tex3]l_3=\frac{l}{\sqrt2^2}[/tex3]
Lado do quadrado [tex3]Q_4[/tex3] : [tex3]l_4=\frac{l}{\sqrt2^3}[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
Lado do quadrado [tex3]Q_n[/tex3] : [tex3]l_n=\frac{l}{\sqrt2^{(n-1)}}[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
Daí,
área do quadrado [tex3]Q_1[/tex3] vale: [tex3]l^2[/tex3]
área do quadrado [tex3]Q_2[/tex3] vale: [tex3]\frac{l^2}{2}[/tex3]
área do quadrado [tex3]Q_3[/tex3] vale: [tex3]\frac{l^2}{2^2}[/tex3]
área do quadrado [tex3]Q_4[/tex3] vale: [tex3]\frac{l^2}{2^3}[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
área do quadrado [tex3]Q_n[/tex3] vale: [tex3]\frac{l^2}{2^{(n-1)}}[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
Como [tex3]l=1[/tex3] temos que a soma das áreas de todos os quadrados da sequência vale:
[tex3]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2[/tex3]
Última edição: caju (Sex 24 Jun, 2022 15:52). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
Jun 2022
30
11:16
Re: (FUVEST-SP) Seqüência
Não entendi, o que seriam esses "pontos médios do quadrado anterior"?
De onde saiu essa raiz de 2?
[tex3]l_2=\frac{l}{\sqrt2}[/tex3]
De onde saiu essa raiz de 2?
[tex3]l_2=\frac{l}{\sqrt2}[/tex3]
-
LostWalker 
- Mensagens: 680
- Registrado em: Seg 04 Mar, 2019 16:34
- Última visita: 10-04-24
Jun 2022
30
11:52
Re: (FUVEST-SP) Seqüência
brunocbbc, fiz essa ilustração, ela vai até o terceiro quadrado:
Veja, começa com o quadrado [tex3]ABCD[/tex3]
. A partir dos pontos médios dos lados desse quadrado, temos o quadrado [tex3]EFGH[/tex3]
que cada lado corresponde a [tex3]l_2=\frac l{\sqrt2}[/tex3]
.
Para encontrar esse valor, veja o triângulo retângulo em [tex3]CGH[/tex3] , aplica-se um Teorema de Pitágoras.
A partir dos pontos médios dos lados do quadrado [tex3]EFGH[/tex3] , formamos o quadrado [tex3]IJKL[/tex3] com lados [tex3]l_3=\frac l{\sqrt{2}^2}[/tex3] . A ideia prossegue infinitamente.
Depois, só eleva-se cada lado a dois para se ter a área e perceber PG infinita de razão menor que [tex3]1[/tex3] .
- Quadrado.png (13.47 KiB) Exibido 1373 vezes
Para encontrar esse valor, veja o triângulo retângulo em [tex3]CGH[/tex3] , aplica-se um Teorema de Pitágoras.
A partir dos pontos médios dos lados do quadrado [tex3]EFGH[/tex3] , formamos o quadrado [tex3]IJKL[/tex3] com lados [tex3]l_3=\frac l{\sqrt{2}^2}[/tex3] . A ideia prossegue infinitamente.
Depois, só eleva-se cada lado a dois para se ter a área e perceber PG infinita de razão menor que [tex3]1[/tex3] .
Última edição: LostWalker (Qui 30 Jun, 2022 11:55). Total de 1 vez.
Razão: adição de comentário
Razão: adição de comentário
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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