Pré-Vestibular

Determine o período e os valores extremos da função
[tex3]f(x)=\frac{\sen^{2}x}{1 + \sen^{2}x}[/tex3]
Uma sequencia de números não nulos [tex3](a_0, a_1, a_2, ...)[/tex3] é uma "Progressão Harmônica" se a sequencia dos inversos desses números for uma progressão aritmética.
Calcule o termo geral [tex3]a_n[/tex3] da P.H.

Mensagem não lidapor **GiovanaMSP** » 23 Mai 2024, 20:34 · Mensagem não lida por **GiovanaMSP** » 23 Mai 2024, 20:34

[tex3]f(x)=\frac{sin^2(x)}{1+sin^2(x)}=\frac{1}{1+\frac{1}{sin^2(x)}}[/tex3]

Sendo [tex3]0\leq sin^2(x)\leq 1 [/tex3] note que [tex3]\lim_{sin^2(x) \rightarrow 0}\left(\frac{1}{1+\cancelto{\infty}{\frac{1}{sin^2(x)}}}\right)=0=f_{min}[/tex3] .

Por outro lado, sendo [tex3]0\leq sin^2(x)\leq 1 [/tex3] note que [tex3]\lim_{sin^2(x) \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1+\cancelto{1}{\frac{1}{sin^2(x)}}}\right)=\frac{1}{2}=f_{max}[/tex3] .

Deste modo, [tex3]0\leq \frac{sin^2(x)}{1+sin^2(x)}\leq \frac{1}{2}[/tex3] .

Para descobrirmos o período, como estamos lidando com um função periódica, o mais fácil me parece ser testar valores. Vejamos:

Para [tex3]x=0[/tex3] tem-se [tex3]f(0)=0[/tex3] ;

Para [tex3]x=\pi[/tex3] tem-se [tex3]f(\pi)=0[/tex3] ;

Bom, ao percorremos uma distância [tex3]\pi[/tex3] no eixo [tex3]x[/tex3] vimos que os valores de [tex3]f(x)[/tex3] se repetiram. Vamos testar estrategicamente [tex3]x=2\pi[/tex3] e você notará que [tex3]f(2\pi)=0[/tex3] .

Como a cada [tex3]\pi[/tex3] os valores de [tex3]f(x)[/tex3] se repetem, tem-se que o período de [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]\pi[/tex3] .

Mensagem não lidapor **GiovanaMSP** » 23 Mai 2024, 20:45 · Mensagem não lida por **GiovanaMSP** » 23 Mai 2024, 20:45

Na resolução anterior eu utilizei o conceito de limites para resolver a questão, pois nos vestibulares dos anos 70 da FUVEST era cobrado o conhecimento acerca de limites e derivadas. Para tornar a resolução um tanto mais acessível, vou propor uma resolução utilizando apenas conceitos do ensino médio para encontrar os valores extremos de [tex3]f(x)[/tex3] .

Identidade trigonométrica: [tex3]sin^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}[/tex3] tal que [tex3]f(x)=\frac{sin^2(x)}{1+sin^2(x)}=\frac{1-cos(2x)}{3-cos(2x)}[/tex3] .

Como [tex3]-1\leq cos(2x)\leq 1\ \therefore\ f_{min}=\frac{1-1}{3-1}=0\ e\ f_{max}=\frac{1-(-1)}{3-(-1)}=\frac{1}{2}\ \therefore\ 0\leq \frac{sin^2(x)}{1+sin^2(x)}\leq \frac{1}{2}[/tex3] .

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