Ensino Médio ⇒ Geometria Plana

[Samymnz]

Sobre o lado AB de um retângulo ABCD se toma o ponto E e sobre o lado AD se marca o ponto
médio F, de modo que, 𝐹𝐸̂𝐶 = 𝐶𝐸̂𝐵, 2AE + EB = 18. Calcule EF
a. 4,5
b. 18
c. 9
d. 6

Resposta

---

Gab: c)9

[παθμ]

Samymnz, sejam [tex3]z=EF,[/tex3]

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[tex3]z=EF,[/tex3]

[tex3]x=AE, \; \; y=EB, \; \; h=BC=AD.[/tex3]

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[tex3]x=AE, \; \; y=EB, \; \; h=BC=AD.[/tex3]

d9bcb5f5-e2a3-4596-8b69-27b092b90e8d.jpg (13.61 KiB) Exibido 68 vezes

Veja no triângulo retângulo EBC que [tex3]h=y \tan(\theta).[/tex3]

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[tex3]h=y \tan(\theta).[/tex3]

Ademais, no triângulo retângulo AEF, temos [tex3]z\cos(2\theta - 90 \degree)= \frac{h}{2}= \frac{y \tan(\theta)}{2} \Longrightarrow z \sin(2 \theta)=2z \sin(\theta) \cos(\theta) = \frac{y \sin(\theta)}{2\cos(\theta)} \Longrightarrow 4 \cos^2(\theta)z=y.[/tex3]

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[tex3]z\cos(2\theta - 90 \degree)= \frac{h}{2}= \frac{y \tan(\theta)}{2} \Longrightarrow z \sin(2 \theta)=2z \sin(\theta) \cos(\theta) = \frac{y \sin(\theta)}{2\cos(\theta)} \Longrightarrow 4 \cos^2(\theta)z=y.[/tex3]

(1)

Também no triângulo retângulo AEF: [tex3]z \sin(2\theta - 90 \degree)=x \Longrightarrow -z \cos(2\theta)=x \Longrightarrow -z(2\cos^2(\theta)-1)=\frac{18-y}{2} \Longrightarrow 4\cos^2(\theta)=2-\frac{18}{z}+\frac{y}{z}.[/tex3]

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[tex3]z \sin(2\theta - 90 \degree)=x \Longrightarrow -z \cos(2\theta)=x \Longrightarrow -z(2\cos^2(\theta)-1)=\frac{18-y}{2} \Longrightarrow 4\cos^2(\theta)=2-\frac{18}{z}+\frac{y}{z}.[/tex3]

Substituindo esse resultado na equação (1): [tex3]z\left(2-\frac{18}{z}+\frac{y}{z}\right)=y \Longrightarrow 2z-18=0 \Longrightarrow \boxed{z=9}[/tex3]

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[tex3]z\left(2-\frac{18}{z}+\frac{y}{z}\right)=y \Longrightarrow 2z-18=0 \Longrightarrow \boxed{z=9}[/tex3]

Alternativa C

[Samymnz]

[tex3]h=y \tan(\theta).[/tex3]

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[tex3]h=y \tan(\theta).[/tex3]

como você chegou a essa conclusão?

zcos(2θ−90∘)=h2=ytan(θ)2⟹zsin(2θ)=2zsin(θ)cos(θ)=ysin(θ)2cos(θ)⟹4cos2(θ)z=y.

e por que vc utilizou 2θ ao invés de apenas θ?

[παθμ]

como você chegou a essa conclusão?

Tangente de θ no triângulo retângulo EBC é o cateto oposto (BC = h) sobre cateto adjacente (EB = y)

e por que vc utilizou 2θ ao invés de apenas θ?

Porque os ângulos internos do triângulo retângulo AEF são [tex3]90 \degree, \; \; 2\theta - 90 \degree[/tex3]

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[tex3]90 \degree, \; \; 2\theta - 90 \degree[/tex3]

e [tex3]180 \degree - 2 \theta.[/tex3]

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[tex3]180 \degree - 2 \theta.[/tex3]