Pré-Vestibular ⇒ (UFPE - 2006) Polinômios Tópico resolvido

[Papiro8814]

Um polinômio P(x). com coeficientes reais, c tal que P(1) = I e P(2) = -1. Calcule R(-11/2). se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x² - 3x + 2.

Resposta

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14

[ProfLaplace]

Chamemos o quociente de [tex3]Q(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q(x)[/tex3]

e o resto de [tex3]R(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R(x)[/tex3]

. Podemos escrever [tex3]R(x)=ax+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R(x)=ax+b[/tex3]

pois o grau do divisor é 2. Assim,
[tex3]P(x)=(x^2-3x+2)\cdot Q(x)+ax+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(x)=(x^2-3x+2)\cdot Q(x)+ax+b[/tex3]

Aplique x=1 na expressão acima:
[tex3]P(1)=(1-3+2)\cdot Q(1)+a+b \Rightarrow 1=a+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(1)=(1-3+2)\cdot Q(1)+a+b \Rightarrow 1=a+b[/tex3]

.

Aplique agora x=2:
[tex3]P(2)=(4-6+2)\cdot Q(2)+2a+b \Rightarrow -1=2a+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(2)=(4-6+2)\cdot Q(2)+2a+b \Rightarrow -1=2a+b[/tex3]

.

Subtraindo as equações anteriores, você encontra [tex3]a=-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=-2[/tex3]

. Facilmente segue que [tex3]b=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=3[/tex3]

. Logo [tex3]R(x)=-2x+3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R(x)=-2x+3[/tex3]

.
Então,
[tex3]R\left(\frac{-11}{2}\right)=-2\cdot \frac{-11}{2}+3=11+3=14[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R\left(\frac{-11}{2}\right)=-2\cdot \frac{-11}{2}+3=11+3=14[/tex3]

.

[Papiro8814]

Chamemos o quociente de [tex3]Q(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q(x)[/tex3]

e o resto de [tex3]R(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R(x)[/tex3]

. Podemos escrever [tex3]R(x)=ax+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R(x)=ax+b[/tex3]

pois o grau do divisor é 2. Assim,
[tex3]P(x)=(x^2-3x+2)\cdot Q(x)+ax+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(x)=(x^2-3x+2)\cdot Q(x)+ax+b[/tex3]

Aplique x=1 na expressão acima:
[tex3]P(1)=(1-3+2)\cdot Q(1)+a+b \Rightarrow 1=a+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(1)=(1-3+2)\cdot Q(1)+a+b \Rightarrow 1=a+b[/tex3]

.

Aplique agora x=2:
[tex3]P(2)=(4-6+2)\cdot Q(2)+2a+b \Rightarrow -1=2a+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(2)=(4-6+2)\cdot Q(2)+2a+b \Rightarrow -1=2a+b[/tex3]

.

Subtraindo as equações anteriores, você encontra [tex3]a=-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=-2[/tex3]

. Facilmente segue que [tex3]b=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=3[/tex3]

. Logo [tex3]R(x)=-2x+3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R(x)=-2x+3[/tex3]

.
Então,
[tex3]R\left(\frac{-11}{2}\right)=-2\cdot \frac{-11}{2}+3=11+3=14[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R\left(\frac{-11}{2}\right)=-2\cdot \frac{-11}{2}+3=11+3=14[/tex3]

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Obrigado