Pré-Vestibular ⇒ Unesp trigonometria 2006 Tópico resolvido

[projetomed]

Considere os gráficos das funções y = sen(x) e y = sen(2x) em um mesmo plano cartesiano. O número de interseções desses gráficos, para x no intervalo [0, 2π], é (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7.
gabarito

Resposta

---

c

ONDE ERRO?Agradeço vcs desde já

Galera,a dúvida existe,pois eu achei 7 raizes onde os dois gráficos se intersectam,vide:
2∏,0∏ e ∏ para sinx²=0 e para sinx²=3/4 achei ∏/3,2∏/3,4∏/3 e 5∏/3
I-Igualei as 2 funções e ficou sinx=2sinxcosx=>Usei a fundamental da trigonometria e ficou uma equação de 4 grau e substitui sinx² por uma letra e cai na seguinte eq de segundo grau(Usando T como sin²x)

3T-4T²=0,e caí nas 2 eq decima,e nas consequentes 7 raizes achadas

[ProfLaplace]

Olá, tudo bem?
Sua ideia não é errada em si, mas você complicou a coisa desnecessariamente.
E tem um detalhe na matemática que é o seguinte: quando você eleva uma equação ao quadrado, pode ser que "falsas soluções" apareçam (chamadas de raízes espúrias). Supondo que toda sua conta está correta - e realmente olhando por cima parece que está - bastaria que você testasse todas as suas soluções na equação original para ver se é necessário descartar alguma delas. Só a título de curiosidade, você vai ver que precisa descartar [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3]

e [tex3]\frac{4\pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4\pi}{3}[/tex3]

.

Mas de qualquer modo eu recomendo que você use outra solução, que é a seguinte:
[tex3]2\sen{x}\cos{x}=\sen{x} \Rightarrow 2\sen{x}\cos{x}-\sen{x}=0 \Rightarrow \sen{x}\cdot (2\cos{x}-1)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sen{x}\cos{x}=\sen{x} \Rightarrow 2\sen{x}\cos{x}-\sen{x}=0 \Rightarrow \sen{x}\cdot (2\cos{x}-1)=0[/tex3]

.
Como o produto anterior dá zero, podemos dizer que [tex3]\sen{x}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{x}=0[/tex3]

ou [tex3]2\cos{x}-1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cos{x}-1=0[/tex3]

. Ou seja, [tex3]\sen{x}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{x}=0[/tex3]

ou [tex3]\cos{x}=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos{x}=\frac{1}{2}[/tex3]

. Agora resolva essas duas equações trigonométricas separadamente para achar as soluções. Perceba que fazendo assim você evita cair numa equação de quarto grau.

[petras]

[tex3]sen(2x)-sen(x) = 0\\
2senxcosx-senx=0\\
senx(2cosx-1)=0\\
senx = 0 \implies x = 0, x = \pi, x = 2\pi\\
2cosx=1 \implies cosx=\frac{1}{2} \therefore x =\frac{\pi}{3}, x = 2\pi-\frac{\pi}{3} =\frac{5\pi}{3} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen(2x)-sen(x) = 0\\
2senxcosx-senx=0\\
senx(2cosx-1)=0\\
senx = 0 \implies x = 0, x = \pi, x = 2\pi\\
2cosx=1 \implies cosx=\frac{1}{2} \therefore x =\frac{\pi}{3}, x = 2\pi-\frac{\pi}{3} =\frac{5\pi}{3} [/tex3]

[10Adriano]

[tex3]sen(x)=sen(2x)\quad\to\quad sen(x)=2sen(x)cos(x)\quad\to\quad sen(x)-2sen(x)cos(x)=0\\\\\to\quad sen(x)[1-2cos(x)]=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen(x)=sen(2x)\quad\to\quad sen(x)=2sen(x)cos(x)\quad\to\quad sen(x)-2sen(x)cos(x)=0\\\\\to\quad sen(x)[1-2cos(x)]=0[/tex3]

Dois valores que multiplicados resulta em zero!
Então, dois casos.

Caso 1
sen(x) = 0
[tex3]x=\pi\quad ou \quad x=2\pi\quad ou \quad x=0[/tex3]

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[tex3]x=\pi\quad ou \quad x=2\pi\quad ou \quad x=0[/tex3]

Caso 2
[tex3]1-2cos(x)=0\quad\to\quad cos(x)=\dfrac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-2cos(x)=0\quad\to\quad cos(x)=\dfrac{1}{2}[/tex3]

[tex3]x=\dfrac{\pi}{3}\quad ou \quad x=\dfrac{5\pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\dfrac{\pi}{3}\quad ou \quad x=\dfrac{5\pi}{3}[/tex3]

Portanto, há 4 soluções para x no intervalo [tex3][0, 2\pi][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][0, 2\pi][/tex3]

Resposta: item (C).

[projetomed]

Dois valores que multiplicados resulta em zero!

Nossa,não tinha nem percebido essa possibilidade de fatoração,muito mais simples,prática e que me levaria ao acerto kkkkkkk
Agradeço vcs 2 de coração

[projetomed]

"falsas soluções" apareçam (chamadas de raízes espúrias). Supondo que toda sua conta está correta - e realmente olhando por cima parece que está - bastaria que você testasse todas as suas soluções

Excelente,agradeço demais pelo comentário professor,quando eu usar esse método de elevar a x dos dois lados verificarei da forma como o senhor ressaltou

[petras]

10Adriano,

VocÊ esqueceu o 0..serão 5 soluções

[10Adriano]

Obrigado, já corrigido!

Abraços,