Pré-Vestibular ⇒ (SAS/2020) - Análise Combinatória

[oilut]

Um dado cúbico com faces numeradas de 1 a6é considerado normal quando os números em duas faces opostas somam 7. Desse modo, em um dado normal, o 1 opõe-se ao 6, o 2 opõe-se ao 5, e o 3 opõe-se ao 4.

Uma fábrica de brinquedos pretende inovar na produção de dados para seus jogos e produzirá dados em forma de dodecaedro regular com faces numeradas de 1 a 12.

A quantidade de dados dodecaédricos diferentes que a fábrica poderá produzir satisfazendo a condição de que os números em duas faces opostas somem 13 é:

Resposta

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Gabarito: D

[oilut]

Alguém sabe resolver essa questão?

[petras]

oilut,

a questão, nós temos 6 duplas de números que somam 13 (1 e 12, 2 e 11, ... , 6 e 7). Para fazer a questão o primeiro passo, muito utilizado em problemas de combinatória com faces de poliedro, é fixar um número em uma face. Fixando o 1 por exemplo, sabemos que onde quer que ele esteja, sempre podemos trazer ele para a posição da face verde da imagem, por simples rotação do poliedro. Então, vamos fixar o 1 na face verde e arrumar o resto. Estando o 1 na face verde, sabemos que o número na face oposta é o 12.
Agora a nossa tarefa é escolher quem das duplas ocupará as 5 faces da frente (na imagem as faces azul escuro, roxo, rosa, laranja e azul claro), pois fazendo isso as faces opostas são automaticamente definidas. Como para cada dupla temos 2 possibilidades, e temos 5 duplas, ao total teremos 2⁵ possibilidades de escolhermos quem ocupará as face da frente. Escolhido os números da face da frente, agora temos que permutar eles ao redor da face verde. Veja que é simplesmente uma permutação circular de 5 elementos, o que nos dá 4! possibilidades. Sendo assim, o número total de possibilidades de formarmos dados dodecaédricos é: 2⁵ . 4!

(Solução:victor011)