Um dado cúbico com faces numeradas de 1 a6é considerado normal quando os números em duas faces opostas somam 7. Desse modo, em um dado normal, o 1 opõe-se ao 6, o 2 opõe-se ao 5, e o 3 opõe-se ao 4.
Uma fábrica de brinquedos pretende inovar na produção de dados para seus jogos e produzirá dados em forma de dodecaedro regular com faces numeradas de 1 a 12.
A quantidade de dados dodecaédricos diferentes que a fábrica poderá produzir satisfazendo a condição de que os números em duas faces opostas somem 13 é:
a questão, nós temos 6 duplas de números que somam 13 (1 e 12, 2 e 11, ... , 6 e 7). Para fazer a questão o primeiro passo, muito utilizado em problemas de combinatória com faces de poliedro, é fixar um número em uma face. Fixando o 1 por exemplo, sabemos que onde quer que ele esteja, sempre podemos trazer ele para a posição da face verde da imagem, por simples rotação do poliedro. Então, vamos fixar o 1 na face verde e arrumar o resto. Estando o 1 na face verde, sabemos que o número na face oposta é o 12.
Agora a nossa tarefa é escolher quem das duplas ocupará as 5 faces da frente (na imagem as faces azul escuro, roxo, rosa, laranja e azul claro), pois fazendo isso as faces opostas são automaticamente definidas. Como para cada dupla temos 2 possibilidades, e temos 5 duplas, ao total teremos 25 possibilidades de escolhermos quem ocupará as face da frente. Escolhido os números da face da frente, agora temos que permutar eles ao redor da face verde. Veja que é simplesmente uma permutação circular de 5 elementos, o que nos dá 4! possibilidades. Sendo assim, o número total de possibilidades de formarmos dados dodecaédricos é: 25 . 4!
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oilut ,
Octaedro regular as faces são triângulos equilátero
S = S_{oct}-S_{pir} = 8\frac{l^2\sqrt3}{4}-4\frac{l_p^2\sqrt3}{4}=2.3^2\sqrt3-4\sqrt3\\
S = 14\sqrt3=23,8 dm^2. 0,25 =\boxed{5,95}
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oilut ,
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R = S_\triangle+3 S_{seg}=\frac{l^2\sqrt3}{4}+3(\frac{\pi r^2}{6} -\frac{l^2\sqrt3}{4})=\frac{\pi}{2} - \frac{2\sqrt3}{4} \\
\therefore R = \frac{2\pi -...
