Pré-Vestibular ⇒ Unicentro - 2013- Números complexos Tópico resolvido

[dudaox]

Sejam z₁ = 3 - i e z₂ = 2x + i com x real positivo, dois números complexos. Se | z₁ . z₂ |^2 = 50, então o valor de x é:
A)1
B)2
C)3
D) 4
E) 5

Não consegui desenvolver essa multiplicação no módulo, se eu devo usar alguma regra de módulo, e gostaria que detalhassem a multiplicação.

Resposta

---

A

[petras]

[tex3]|z_1\cdot z_2|^2=50 \Rightarrow |z_1|^2\cdot |z_2|^2 = 50\\
|z_1|^2=\left(3\right)^2+\left(-1\right)^2=9+1=10\\
|z_2|^2=\left(2x\right)^2+\left(1\right)^2=4x^2+1\\
|z_1\cdot z_2|^2=50 \Rightarrow 10\left(4x^2+1\right)=50 \Rightarrow\\
4x^2+1=5\Rightarrow \therefore x^2= 1\Rightarrow \cancel{x=-1} \vee x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z_1\cdot z_2|^2=50 \Rightarrow |z_1|^2\cdot |z_2|^2 = 50\\
|z_1|^2=\left(3\right)^2+\left(-1\right)^2=9+1=10\\
|z_2|^2=\left(2x\right)^2+\left(1\right)^2=4x^2+1\\
|z_1\cdot z_2|^2=50 \Rightarrow 10\left(4x^2+1\right)=50 \Rightarrow\\
4x^2+1=5\Rightarrow \therefore x^2= 1\Rightarrow \cancel{x=-1} \vee x=1[/tex3]

[dudaox]

E qual a questão de estar no módulo ? Não faz nenhuma diferença para o número complexo ao ser multiplicado ?

[dudaox]

O valor de x não é negativo porque está em módulo, é isso ? Achei que teria que usar alguma relação do módulo

[petras]

dudaox,

Foi usado apenas a propriedade de potência e depois a de módulo

[tex3](a.b)^2 = a^2.b^2\\
|z|^2 =a^2+b^2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a.b)^2 = a^2.b^2\\
|z|^2 =a^2+b^2 [/tex3]

[petras]

dudaox,

O que diz o enunciado em relação ao valor de x???

[dudaox]

Ah, verdade. Entendi! Obrigada!