Pré-Vestibular ⇒ Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Teoria dos polinômios Tópico resolvido

[SBAN]

Fundamentos da Matemática elementar Volume 6, 7 edição. Teste de vestibulares questão 162

(UF-RS) Considere as afirmações

I) Se P(x) e Q(x) São polinômios de grau N, então P(x) + Q(x) é um polinômio de grau 2N

II) O resto da divisão de [tex3]P(x)=Mx^3+x^2-x[/tex3]

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[tex3]P(x)=Mx^3+x^2-x[/tex3]

por [tex3]Q(x)=x-1[/tex3]

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[tex3]Q(x)=x-1[/tex3]

é igual a M

III) O produto de um polinômio de Grau N por (x-a) é um polinômio de grau N+1

Quais estão corretas?

A) Apenas 1
B) Apenas 1 e 2
C) Apenas 3
D) Apenas 2 e 3
E) Apenas 1, 2 e 3

Resolução

Resposta

---

Alternativa D. Apenas 2 e 3 estão corretas

I) é uma afirmação falsa. Pois, quando somamos polinômios o Grau do Polinômio nunca aumenta, permanecerá o mesmo ou diminuirá caso os coeficiente de mesmo termo se anulem. Exemplo [tex3]P(x)= X^2+1, Q(x)=-X^2+1[/tex3]

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[tex3]P(x)= X^2+1, Q(x)=-X^2+1[/tex3]

Então [tex3]P(x)+Q(x)=X^2+1-X^2+1\rightarrow~P(x)+Q(x)=2[/tex3]

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[tex3]P(x)+Q(x)=X^2+1-X^2+1\rightarrow~P(x)+Q(x)=2[/tex3]

II) Fazendo divisão de polinômios por Ruffini temos
[tex3]\begin{array}{c|ccccc}
&m&1&-1&0\\
1&\\
\hline
&m&m+1&m&\boxed{m}
\end{array}[/tex3]

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[tex3]\begin{array}{c|ccccc}
&m&1&-1&0\\
1&\\
\hline
&m&m+1&m&\boxed{m}
\end{array}[/tex3]

Ou seja resto 0

III) Afirmação verdadeira, se Multiplicarmos um Polinômio P(x) de Grau N por [tex3]Q(x)=(x-a)[/tex3]

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[tex3]Q(x)=(x-a)[/tex3]

quem tem grau 1 tem Um polinômio de Grau N+1, Lembre-se do teorema do produto de polinômios [tex3]G(P(x)\cdot Q(x))= Gp(x)+Gq(x)[/tex3]

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[tex3]G(P(x)\cdot Q(x))= Gp(x)+Gq(x)[/tex3]

Resposta

---

Ou seja afirmação 2 e 3 são corretas, opção certa é a ALTERNATIVA D

[LostWalker]

Resolução Alternativa para 2[tex3][/tex3]

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[tex3][/tex3]

---

Para isso, partimos do princípio que:

[tex3]P(x)=Q(x)\cdot d(x)+r(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)=Q(x)\cdot d(x)+r(x)[/tex3]

Logo, podemos escrever:

[tex3]P(x)=Mx^3+x^2-x=(x-1)\cdot d(x)+r(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)=Mx^3+x^2-x=(x-1)\cdot d(x)+r(x)[/tex3]

Uma forma mais imediata de resolver esse tipo de questão é zerar o polinômio quociente, tomando [tex3]P(r)[/tex3]

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[tex3]P(r)[/tex3]

tal que [tex3]Q(r)=0[/tex3]

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[tex3]Q(r)=0[/tex3]

, desse modo, poderíamos tomar:

[tex3]P(1)=M\cdot1^3+1^2-1={\color{Red}\cancel{\color{Black}(1-1)\cdot d(1)}} + R(1)[/tex3]

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[tex3]P(1)=M\cdot1^3+1^2-1={\color{Red}\cancel{\color{Black}(1-1)\cdot d(1)}} + R(1)[/tex3]

[tex3]P(1)=R(1)=M[/tex3]

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[tex3]P(1)=R(1)=M[/tex3]

Eu abri dividi o polinômio para uma visualização mais clara, mas perceba que, para responder mais rápido, bastava tomar [tex3]P(1)[/tex3]

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[tex3]P(1)[/tex3]

.

[SBAN]

Exato, Bem observado. Não tinha pensado nisso. Sempre que temos uma divisão de polinômio por um divisor ou quociente de grau 1 e queremos o resto é melhor usar teorema do resto mesmo do que Ruffini