Pré-Vestibular ⇒ (FFCLUSP - 1966) Geometria Tópico resolvido

[ellan]

Na figura, os ângulos OÂiBi i=0,1,2,3,...são retos. Quanto vale a soma dos segmentos AoBo, A1B1, A2B2,...em função de AoBo e de [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

?

Triangulos.jpg (13.11 KiB) Exibido 301 vezes

Resposta

---

Resp: [tex3]A0B0.cossec^2 \theta[/tex3]

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[tex3]A0B0.cossec^2 \theta[/tex3]

[petras]

Na figura ao lado, os ângulos [tex3]\mathsf{OÂ_iB_i ~e~O \widehat {B_{i+1}}A_i}, i = 1,2...[/tex3]

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[tex3]\mathsf{OÂ_iB_i ~e~O \widehat {B_{i+1}}A_i}, i = 1,2...[/tex3]

são retos. Quanto vale a soma dos segmentos [tex3]\overline{A_oB_0}, \overline{A_1B_1},\overline{A_2B_1}...[/tex3]

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[tex3]\overline{A_oB_0}, \overline{A_1B_1},\overline{A_2B_1}...[/tex3]

em função da medida de [tex3]\overline{A_oB_o}[/tex3]

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[tex3]\overline{A_oB_o}[/tex3]

e de [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

?

[tex3]B_oÂ_oB_1\cong B_1Â_1B_2 \cong B_2Â_2B_3\cong B_3Â_3B_4\cong,,,=\theta=A_o\hat{B_1}A_1\cong A_1\hat{B_2}A_2\cong A_2\hat{B_3}A_3...\\
cos\theta = \frac{A_0B_1}{A_0B_0}\rightarrow A_0B_1=A_0B_0.cos\theta\\
cos\theta = \frac{A_1B_1}{A_0B_1}\rightarrow {\color{red}A_1B_1}=A_0B_1.cos\theta=A_0B_0.cos^2\theta\\
cos\theta = \frac{A_1B_2}{A_1B_1}\rightarrow A_1B_2=A_1B_1.cos\theta=A_0B_0.cos^3\theta\\
cos\theta = \frac{A_2B_2}{A_1B_2}\rightarrow {\color{red}A_2B_2}=A_1B_2.cos\theta=A_0B_0,cos^3.cos\theta=A_0B_0cos^4\theta...\\
P.G.\rightarrow q = cos^2\theta\rightarrow S = \frac{a_1}{1-q}=\boxed{\frac{\overline{A_oB_o}}{1-cos^2\theta}}[/tex3]

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[tex3]B_oÂ_oB_1\cong B_1Â_1B_2 \cong B_2Â_2B_3\cong B_3Â_3B_4\cong,,,=\theta=A_o\hat{B_1}A_1\cong A_1\hat{B_2}A_2\cong A_2\hat{B_3}A_3...\\
cos\theta = \frac{A_0B_1}{A_0B_0}\rightarrow A_0B_1=A_0B_0.cos\theta\\
cos\theta = \frac{A_1B_1}{A_0B_1}\rightarrow {\color{red}A_1B_1}=A_0B_1.cos\theta=A_0B_0.cos^2\theta\\
cos\theta = \frac{A_1B_2}{A_1B_1}\rightarrow A_1B_2=A_1B_1.cos\theta=A_0B_0.cos^3\theta\\
cos\theta = \frac{A_2B_2}{A_1B_2}\rightarrow {\color{red}A_2B_2}=A_1B_2.cos\theta=A_0B_0,cos^3.cos\theta=A_0B_0cos^4\theta...\\
P.G.\rightarrow q = cos^2\theta\rightarrow S = \frac{a_1}{1-q}=\boxed{\frac{\overline{A_oB_o}}{1-cos^2\theta}}[/tex3]

[fipswOw]

Olá!

Por que cos θ = (A₀B₁)/(A₀B₀)? A₀B₁ é adjacente a θ mesmo? Não consegui visualizar. E o A₀B₀ é mesmo hipotenusa?

[petras]

fipswOw,
O enunciado está incompleto. i = 0,1,2..... portanto
[tex3]\mathsf{\angle O {B_{i+1}}A_i}~é ~reto\\
\therefore \angle O {B_{1}}Ao~é~reto[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\angle O {B_{i+1}}A_i}~é ~reto\\
\therefore \angle O {B_{1}}Ao~é~reto[/tex3]

[tex3]\triangle A_oB_1B_o (retângulo)\\
\angle B_o = 90-\theta \implies \angle B_oA_oB_1 = \theta\\
\therefore cos\theta = \frac{A_oB_1}{A_oB_o}[/tex3]

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[tex3]\triangle A_oB_1B_o (retângulo)\\
\angle B_o = 90-\theta \implies \angle B_oA_oB_1 = \theta\\
\therefore cos\theta = \frac{A_oB_1}{A_oB_o}[/tex3]

[fipswOw]

Muito obrigado! Foi muita gentileza sua em me responder. Eu deveria ter lido com mais atenção o enunciado...