Pré-Vestibular ⇒ (MACKENZIE 2021) Circunferências Tangentes Tópico resolvido

[medyorianna]

Indagação-Mackenzie-2021-43.jpg (19.52 KiB) Exibido 481 vezes

A figura 1 ilustra um enfeite feito em crochê, utilizado para enfeitar mesas.

Essa peça de artesanato pode ser representada geometricamente, de maneira simplificada, por 13 círculos, estando o maior deles no centro e todos os demais, idênticos em tamanho, tangentes ao central. Além disso, cada um dos 12 círculos menores é tangente aos outros 2 que lhe são adjacentes, como ilustrado na figura 2.



Seja R a medida do raio do círculo central e r a medida dos raios dos demais círculos. Expressando-se r em função de R, obtém-se

Resposta

---

Gabarito: R.sen15°/ 1 - sen15°

[petras]

medyorianna,

A uniao dos 12 centros menores irá formar um dodecágono cujo angulo central vale 30^o.

Unindo o centro da maior com os dois centros menores de duas circunferências adjacentes teremos:
[tex3]OBA_{(isosceles)}\\
Traçando~ altura~OH = bissetriz \implies \angle BOH = 15^o \\
\triangle BOH: sen15^o = \frac{r}{R+r} \implies Rsen15^o = r-rsen15^o \\
\therefore \boxed{r = \frac{Rsen15^o }{1-sen15^o}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OBA_{(isosceles)}\\
Traçando~ altura~OH = bissetriz \implies \angle BOH = 15^o \\
\triangle BOH: sen15^o = \frac{r}{R+r} \implies Rsen15^o = r-rsen15^o \\
\therefore \boxed{r = \frac{Rsen15^o }{1-sen15^o}}[/tex3]