Pré-Vestibular ⇒ UFSC 2013 - Inequação números reais positivos Tópico resolvido

[estudante420]

Se a e b são números reais positivos, então a/b + b/a é maior ou igual a 2.


Tenho uma dúvida que vai além da resolução dessa questão. Como seria o nome do conteúdo de matemática que fala de equações com letras e ter que provar algo? Há alguma dica ou passo-a-passo para esse tipo de questão? Quase sempre não sei resolver por demonstração, mas só exemplificando, por isso fica a dúvida de "e se tiver um exemplo que não testei e torna a afirmativa errada?". Agradeço quem puder responder.

Resposta

---

verdadeiro

[Daleth]

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a}[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}[/tex3]

-> aqui vc faz o mmc e encontra o lado direito da igualdade

Reescrevendo o lado direito da igualdade:

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{(a-b)^2+2ab}{ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{(a-b)^2+2ab}{ab}[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{(a-b)^2}{ab}+2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{(a-b)^2}{ab}+2[/tex3]

Logo, pelo que foi desenvolvido no cálculo
basicamente [tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} [/tex3]

é igual a 2 mais alguma coisa
logo, com isso obrigatoriamente [tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} [/tex3]

é maior ou igual a 2, já que ainda que [tex3]\frac{(a-b)^2}{ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(a-b)^2}{ab}[/tex3]

seja nulo ainda resta o 2

[Daleth]

Sobre o que vc perguntou sobre resolver esse tipo de questão de provar algo
basicamente nao tem um método em si, é muita mas muita prática e ver algumas resoluções te dá algumas ideias do que pensar na hora de provar algo
vou disponibilizar aqui um link de um pdf que tem várias demonstrações e vc pode perceber alguns padrões que vc pode aplicar

qualquer dúvida me manda no privado, bons estudos!!

http://www.decom.ufop.br/lucilia/md1/md1-ex10-sol.pdf

[estudante420]

Agradeço pela resposta e por estar disponível pra perguntar! vou ver o arquivo que vc enviou, obg de novo