Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest) Geometria Plana Tópico resolvido

[brunocbbc]

(Fuvest) Um agricultor irriga uma de suas plantações utilizando duas máquinas de
irrigação. A primeira irriga uma região retangular, de base 100 m e altura 20 m,
e a segunda irriga uma região compreendida entre duas circunferências de centro
O, e de raios 10 m e 30 m. A posição relativa dessas duas regiões é dada na
figura

image_2023-01-11_215644227.png (4.24 KiB) Exibido 430 vezes

onde A e B são os pontos médios das alturas do retângulo. Sabendo-se ainda
que os pontos A, B e O estão alinhados e que BO = 20 m, determine

a) a área da intersecção das regiões irrigadas pelas máquinas;
b) a área total irrigada.

Utilize as seguintes aproximações: 2 = 1,41, π = 3,14 e arc sen(1/3) = 0,340 rad

Resposta

---

A) 188m²
B)4324m²

[petras]

Para calcular a intersecção das regiões irrigadas, pela figura, temos:

Área do quadrilátero CDEF somado ao resultado da área do setor circular COD subtraído pela área do triângulo COD.
Sejam
S1 = área do setor circular COD;
S2 = área do triângulo COD;
S3 = área do quadrilátero CDEF;
SI = área correspondente à intersecção das regiões irrigadas.
ST = área total irrigada

[tex3]S_1:\\
sen\alpha = =\frac{DQ}{DO} = \frac{10}{30}=\frac{1}{3}\implies arcsen\frac{1}{3} = 0,340\\
\therefore 2\alpha = 0,680\\
\pi r^2=\pi.30^2 -2\pi\\
S_1-0,68\\
\therefore \boxed{S_1 =306}\\
S_2:\\
OD^2=OQ^2+DQ^2\implies 30^2OQ^2+10^2 \therefore OQ = 28.2\\
S_2=\frac{1}{2}.CD.OQ = \frac{1}{2}.20.28,2 \therefore \boxed{S_2=282}\\
S_3:\\
BQ =OQ-OB =28,2-20 =8,2\\
S_3=DC.BQ =20.8,2 \therefore \boxed{S_3=164}\\
S_{I}=S_3+(S_1-S_2) = 164+(306-282) = \boxed{\boxed{188 m^2}}\\
S_{T} = 100.20+\pi(30^2-10^2)-188=\boxed{\boxed{4324m^2}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_1:\\
sen\alpha = =\frac{DQ}{DO} = \frac{10}{30}=\frac{1}{3}\implies arcsen\frac{1}{3} = 0,340\\
\therefore 2\alpha = 0,680\\
\pi r^2=\pi.30^2 -2\pi\\
S_1-0,68\\
\therefore \boxed{S_1 =306}\\
S_2:\\
OD^2=OQ^2+DQ^2\implies 30^2OQ^2+10^2 \therefore OQ = 28.2\\
S_2=\frac{1}{2}.CD.OQ = \frac{1}{2}.20.28,2 \therefore \boxed{S_2=282}\\
S_3:\\
BQ =OQ-OB =28,2-20 =8,2\\
S_3=DC.BQ =20.8,2 \therefore \boxed{S_3=164}\\
S_{I}=S_3+(S_1-S_2) = 164+(306-282) = \boxed{\boxed{188 m^2}}\\
S_{T} = 100.20+\pi(30^2-10^2)-188=\boxed{\boxed{4324m^2}} [/tex3]

(Solução:ThiagoYamamoto)

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