Pré-Vestibular ⇒ (UTFPR) Trigonometria Tópico resolvido

[hcubasmachado]

No intervalo [0; 2π[, o número de soluçõesda equação cos x = 4 + 3 cos (x / 2) é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Resposta

---

A correta é a letra A).

[leozitz]

bem, vc poderia usar a fórmula do cosseno do arco duplo direto mas prefiro fazer o seguinte
[tex3]u = \frac x 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u = \frac x 2[/tex3]

ai a gente está procurando soluções em [tex3]0 \le u < \pi[/tex3]

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[tex3]0 \le u < \pi[/tex3]

[tex3]\cos(2u) = 4 + 3 \cos(u)[/tex3]

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[tex3]\cos(2u) = 4 + 3 \cos(u)[/tex3]

ai vc pode usar o cosseno do arco duplo e depois se livrar do [tex3]\sen^2 u[/tex3]

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[tex3]\sen^2 u[/tex3]

usando a equação fundamental trigonométrica e ficar com uma função quadrática onde a variável é [tex3]\cos u[/tex3]

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[tex3]\cos u[/tex3]

mas se vc reparar, o lado direito parece muito grande já que -1 <= cos x <= 1
[tex3]-1 \le\cos u \le 1 \\
-3 \le 3\cos u \le 3\\
4 - 3 = 1 \le 4 + 3\cos u \le 7[/tex3]

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[tex3]-1 \le\cos u \le 1 \\
-3 \le 3\cos u \le 3\\
4 - 3 = 1 \le 4 + 3\cos u \le 7[/tex3]

[tex3]1 \le \cos (2u)[/tex3]

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[tex3]1 \le \cos (2u)[/tex3]

porém a gente sabe que [tex3]\cos (2u) \le 1[/tex3]

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[tex3]\cos (2u) \le 1[/tex3]

então só podemos ter [tex3]\cos(2u) = 1[/tex3]

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[tex3]\cos(2u) = 1[/tex3]

ai agora basta encontrar os valores em [tex3][0, \pi[[/tex3]

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[tex3][0, \pi[[/tex3]

que fazem isso
isso só acontece em u = 0, vamos testar agora
[tex3]1 = 4 + 3\cos (0) = 7[/tex3]

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[tex3]1 = 4 + 3\cos (0) = 7[/tex3]

falso então não tem nenhuma solução no intervalo

[hcubasmachado]

Valeu! Humilde demais.

[petras]

hcubasmachado,
Outra resolução:
[tex3]u =\frac{x}{2}\implies cos(2u)-3cos(u)-4=0\\
\boxed{cos(2u) = 2cos^2u-1}\implies 2cos^2(u)-3cos(u)-5=0\\
cos(u)=y:\implies y = \frac{3\pm \sqrt{49}}{4}\implies y=\frac{5}{2}~ou~y = -1\\
\therefore \cancel{cos(u) = \frac{5}{2}} > 1\\
cos(u) = -1 \implies \frac{x}{2} = \pi+2k\pi \therefore x = 2\pi+4k\pi\\
k = 0\implies x = 2\pi \notin [0,2\pi[ [/tex3]

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[tex3]u =\frac{x}{2}\implies cos(2u)-3cos(u)-4=0\\
\boxed{cos(2u) = 2cos^2u-1}\implies 2cos^2(u)-3cos(u)-5=0\\
cos(u)=y:\implies y = \frac{3\pm \sqrt{49}}{4}\implies y=\frac{5}{2}~ou~y = -1\\
\therefore \cancel{cos(u) = \frac{5}{2}} > 1\\
cos(u) = -1 \implies \frac{x}{2} = \pi+2k\pi \therefore x = 2\pi+4k\pi\\
k = 0\implies x = 2\pi \notin [0,2\pi[ [/tex3]

[hcubasmachado]

Veleu irmão,me ajudou de novo. Muito humilde.