Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Função Quadrática Tópico resolvido

[brunocbbc]

Uma escada de 10 cm de comprimento apoia-se no chão e na parede, formando o triângulo retângulo AOB.

Utilizando-se um sistema de coordenadas cartesianas, a situação pode ser representada como na figura adiante.

image_2022-08-10_164450650.png (3.34 KiB) Exibido 323 vezes

Considerando que, em função de x, a área S do triângulo AOB é dada por S(x) =[tex3]\frac{x\sqrt{10²-x²}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x\sqrt{10²-x²}}{2}[/tex3]

julgue os itens seguintes.

(1) O domínio da função S é o intervalo [0, 10].
(2) Existe um único valor de x para o qual a área S
correspondente é igual a 24 cm².
(3) Se S(x) = 24 e x > y, então o ponto médio da
escada tem coordenadas (4, 3).
(4) Se B = (0, 9), então a área do triângulo AOB é a
maior possível.

Resposta

---

V F V F

[castelohsi]

I. Analisando a função dada, podemos observar que o [tex3]x\geq 0[/tex3]

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[tex3]x\geq 0[/tex3]

para que [tex3]S(x)\geq 0[/tex3]

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[tex3]S(x)\geq 0[/tex3]

e que [tex3]x\leq 10[/tex3]

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[tex3]x\leq 10[/tex3]

para que [tex3]\sqrt{10²-x²}\geq 0[/tex3]

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[tex3]\sqrt{10²-x²}\geq 0[/tex3]

. Portanto, o domínio de f(x) será [0, 10].

II. [tex3]48=x\sqrt{10²-x²}\rightarrow 2304=100x²-x^{4}\rightarrow -k²+100k-2304=0[/tex3]

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[tex3]48=x\sqrt{10²-x²}\rightarrow 2304=100x²-x^{4}\rightarrow -k²+100k-2304=0[/tex3]

Resolvendo a equação acima, encontramos que [tex3]\boxed{k=36}[/tex3]

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[tex3]\boxed{k=36}[/tex3]

e [tex3]\boxed{k=64}[/tex3]

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[tex3]\boxed{k=64}[/tex3]

.
Portanto: [tex3]\boxed{x=6}[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=6}[/tex3]

ou [tex3]\boxed{x=8}[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=8}[/tex3]

III. Vimos que para S(x) = 24, x poderá assumir dois valores, para x = 8, y = 6 e para x = 6, y = 8. Porém, x > y, então devemos analisar x = 8 e y = 6.
[tex3]Pm=\left(\frac{8+0}{2};\frac{6+0}{2}\right)\rightarrow\boxed{Pm=(4;3)} [/tex3]

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[tex3]Pm=\left(\frac{8+0}{2};\frac{6+0}{2}\right)\rightarrow\boxed{Pm=(4;3)} [/tex3]

IV. A maior área de um triângulo retângulo será para quando sua altura relativa à hipotenusa for igual ao raio da circunferência que está circunscrita a ele. Ele será isósceles, logo, sua altura relativa à hipotenusa também será mediana. Se a hipotenusa mede 10cm, então, sua altura será 5cm. Sua área máxima será 25cm².

[brunocbbc]

castelohsi,
Vlw!!