Pré-Vestibular

Mensagem não lida por **nicbln** » 12 Jul 2022, 11:42

01. A função 𝑓: ℝ → [0, +∞[ definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 3| não admite inversa.

02. Se a equação 𝑥² − (𝑘 + 1)𝑥 + (𝑘 + 5) = 0 tem duas raízes tais que uma é o triplo da outra, então o valor de 𝑘 inteiro que satisfaz a equação é um número divisível por 7.

04. Pedro gasta 25% da sua renda bruta para pagar o aluguel da casa onde mora. Se o valor do aluguel aumentar 12% e a sua renda bruta aumentar 4%, então Pedro comprometerá mais de 27% da sua renda bruta com o valor do novo aluguel.

08. Se 𝑓 e 𝑔 são funções de ℝ em ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = 2^(−𝑥) + 1 e 𝑔(𝑥) = 2⁽⁻¹⁾ − 𝑥², então existe 𝑥 ∈ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

16. Na figura a seguir estão representados os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 de ℝ em ℝ. Se 𝑚 = (𝑔 ∘ 𝑓)(3) − (𝑓 ∘ 𝑔)(1), então 𝑚 é um número par.

: GRAFICO F(X) E G(X).png (11.84 KiB) Exibido 651 vezes

32. Se a soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 𝑆𝑛 = 2𝑛² − 8𝑛, para todo 𝑛 natural, então o 11^o termo é um número primo.

64. Se (𝑎, 𝑏) representa o conjunto solução da inequação 𝑙𝑜𝑔₂𝑥 + 𝑙𝑜𝑔₂(𝑥 − 6) < 4, então [tex3]\frac{b}{a}[/tex3] > [tex3]\frac{5}{4}[/tex3].

Resposta

83

Minha dúvida é na resolução das proposições em negrito (ou seja, 16, 32 e 64)

zcoli · Mensagem não lida por **zcoli** » 12 Jul 2022, 16:53

16. Quando [tex3]x=3[/tex3] , o gráfico azul cruza o eixo x. Ou seja, [tex3]f(3)=0[/tex3] .
Quando [tex3]x=0[/tex3] , a função g vale 2. Isto é, [tex3]g(0)=2[/tex3] .

[tex3]gof(3)=g(f(3))=g(0)=2[/tex3]

Quando x varia entre -2 e 2, a função g é uma parábola de vértice [tex3](0,2)[/tex3] e raízes [tex3]-2[/tex3] e [tex3]2[/tex3] .
Ou seja, nesse intervalo, a função g é [tex3]g(x)=-\frac{x^2}{2}+2[/tex3]
[tex3]g(1)=-\frac{1}{2}+2[/tex3]
[tex3]g(1)=\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]g(1)=1,5[/tex3]

Por outro lado, a função f é constante quando x varia de 0 a 2.
Quando [tex3]x=1,5[/tex3] , a função f vale [tex3]4[/tex3] : [tex3]f(1,5)=4[/tex3]

[tex3]fog(1)=f(g(1))=f(1,5)=4[/tex3]

[tex3]m=2-4[/tex3]
[tex3]m=-2[/tex3] (m é par, item verdadeiro)

32. [tex3]S_{10}=2*10^2-8*10=200-80=120[/tex3]
[tex3]S_{11}=2*11^2-8*11=242-88=154[/tex3]

[tex3]a_{11}=S_{11}-S_{10}[/tex3]
[tex3]a_{11}=154-120[/tex3]
[tex3]a_{11}=34[/tex3] (não é primo, item falso)

64. Só existe logaritmo se o logaritmando for positivo (Condição de existência):

[tex3]x>0[/tex3] e [tex3]x-6>0[/tex3]

A intersecção desses 2 intervalos é [tex3]x>6[/tex3] .

[tex3]log_{2}x+log_{2}(x-6)<4[/tex3]
[tex3]log_{2}x(x-6)<4[/tex3]
[tex3]log_{2}x(x-6)< log_{2}16[/tex3]

Como a base é maior que 1, podemos manter a desigualdade entre os logaritmandos, apenas.

[tex3]x(x-6)<16[/tex3]
[tex3]x^2-6x-16<0[/tex3]

As raízes dessa função são -2 e 8. Essa parábola assume valores negativos no intervalo [tex3]-2< x<8[/tex3]

Porém, devemos respeitar a condição de existência do início (isto é, x deve ser maior que 6)
Então o conjunto-solução é o intervalo [tex3]6< x<8[/tex3] .
[tex3]\begin{cases}
a=6 \\
b=8
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{b}{a}=\frac{8}{6}=\frac{16}{12}[/tex3]

De fato, [tex3]\frac{b}{a}> \frac{5}{4}=\frac{15}{12}[/tex3] (item verdadeiro)

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