geométrica de termos positivos e razão [tex3]2^{-x}[/tex3] , tal que 4x
+ z < 5y, então:
Resposta
-2 < x < 0
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Pré-Vestibular ⇒ (Mackenzie) Progressão Geométrica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2022
30
20:56
(Mackenzie) Progressão Geométrica
(Mackenzie) Se (x, y, z) é uma seqüência
geométrica de termos positivos e razão [tex3]2^{-x}[/tex3] , tal que 4x
+ z < 5y, então:
-2 < x < 0
geométrica de termos positivos e razão [tex3]2^{-x}[/tex3] , tal que 4x
+ z < 5y, então:
-2 < x < 0
-
LostWalker
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Jul 2022
01
01:01
Re: (Mackenzie) Progressão Geométrica
Introdução
Inicialmente, há um erro no gabarito, segundo o próprio enunciado, [tex3]x[/tex3] é positivo, assim, a alternativa não faz sentido. De todo modo, veja que a razão está em função de [tex3]x[/tex3] , então vamos passar tudo para função de [tex3]x[/tex3] . Por sabemos que é um PG, podemos dizer que:
[tex3]\cases{x=x\\y=x\cdot2^{-x}\\z=x\cdot2^{-2x}}[/tex3]
Lidando com a Inequação
Vamos substituir os valores que temos:
[tex3]4x+{\color{PineGreen}z}<5{\color{Purple}y}[/tex3]
[tex3]4x+{\color{PineGreen}x\cdot2^{-2x}}<5\cdot{\color{Purple}x\cdot2^{-x}}[/tex3]
Como sabemos que [tex3]x>0[/tex3] pelo enunciado, podemos dividir a conta dos dois lados sem nos preocuparmos com a inequação:
[tex3]4{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-2x}<5\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-x}[/tex3]
[tex3]4+2^{-2x}<5\cdot2^{-x}[/tex3]
Para deixar a potência positiva:
[tex3]4+\frac1{2^{2x}}<\frac5{2^x}[/tex3]
Multiplicando tudo por [tex3]2^{2x}[/tex3] e novamente sem nos preocuparmos já que esse número é positivo, temos:
[tex3]4\cdot2^{2x}+1<5\cdot2^x[/tex3]
Agora, aplicamos uma transformação [tex3]2^{2x}=\(2^x\)^2[/tex3]
[tex3]4\cdot\(2^x\)^2-5\cdot2^x+1<0[/tex3]
E fazemos uma substituição, [tex3]2^x=y[/tex3]
[tex3]4\cdot\({\color{NavyBlue}2^x}\)^2-5\cdot{\color{NavyBlue}2^x}+1<0[/tex3]
[tex3]4\cdot{\color{NavyBlue}y}^2-5\cdot{\color{NavyBlue}y}+1<0[/tex3]
Fórmula das Raízes de Segundo Grau e Análise da Inequação
Aplicando a fórmula temos:
[tex3]y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2\cdot a}[/tex3]
[tex3]y=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{5\pm\sqrt{9}}8[/tex3]
[tex3]y=\frac{5\pm3}8[/tex3]
[tex3]\cases{y_1=1\\y_2=\frac14}[/tex3]
Antes de convertemos para [tex3]x[/tex3] , façamos a análise. Queremos saber quando esse valor é negativo, considerando que o coeficiente [tex3]a[/tex3] é positivo, o valor só é negativo entre as raízes, logo, a resposta é:
[tex3]\frac14< y<1[/tex3]
Agora sim, voltando a substituição e aplicando modificações:
[tex3]\frac14< 2^x<1[/tex3]
[tex3]2^{-2}< 2^x<2^0[/tex3]
[tex3]\boxed{-2< x<0}[/tex3]
Portanto: [tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\{\varnothing\}}[/tex3]
Discutindo o Erro do Gab
O problema aqui é a afirmação do enunciado, ele afirma que os termos são positivos. Se nós consideramos que [tex3]x<0[/tex3] , então há uma mudança aqui:
[tex3]4{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-2x}<5\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-x}[/tex3]
[tex3]4+2^{-2x}{\color{Red}~>~}5\cdot2^{-x}[/tex3]
Isso levaria o final de que:
[tex3]\cases{x<-2\\x>0}[/tex3]
Mas como afirmamos, nesse caso, que [tex3]x<0[/tex3] , então restaria apenas:
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x<-2}[/tex3]
Ou seja, se afirmamos (como no enunciado) que os termos são positivos, então não há uma solução. Entretanto, se afirmamos que os termos são negativos (o que não é feito no enunciado), então chegamos em [tex3]x<-2[/tex3] .
Inicialmente, há um erro no gabarito, segundo o próprio enunciado, [tex3]x[/tex3] é positivo, assim, a alternativa não faz sentido. De todo modo, veja que a razão está em função de [tex3]x[/tex3] , então vamos passar tudo para função de [tex3]x[/tex3] . Por sabemos que é um PG, podemos dizer que:
[tex3]\cases{x=x\\y=x\cdot2^{-x}\\z=x\cdot2^{-2x}}[/tex3]
Lidando com a Inequação
Vamos substituir os valores que temos:
[tex3]4x+{\color{PineGreen}z}<5{\color{Purple}y}[/tex3]
[tex3]4x+{\color{PineGreen}x\cdot2^{-2x}}<5\cdot{\color{Purple}x\cdot2^{-x}}[/tex3]
Como sabemos que [tex3]x>0[/tex3] pelo enunciado, podemos dividir a conta dos dois lados sem nos preocuparmos com a inequação:
[tex3]4{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-2x}<5\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-x}[/tex3]
[tex3]4+2^{-2x}<5\cdot2^{-x}[/tex3]
Para deixar a potência positiva:
[tex3]4+\frac1{2^{2x}}<\frac5{2^x}[/tex3]
Multiplicando tudo por [tex3]2^{2x}[/tex3] e novamente sem nos preocuparmos já que esse número é positivo, temos:
[tex3]4\cdot2^{2x}+1<5\cdot2^x[/tex3]
Agora, aplicamos uma transformação [tex3]2^{2x}=\(2^x\)^2[/tex3]
[tex3]4\cdot\(2^x\)^2-5\cdot2^x+1<0[/tex3]
E fazemos uma substituição, [tex3]2^x=y[/tex3]
[tex3]4\cdot\({\color{NavyBlue}2^x}\)^2-5\cdot{\color{NavyBlue}2^x}+1<0[/tex3]
[tex3]4\cdot{\color{NavyBlue}y}^2-5\cdot{\color{NavyBlue}y}+1<0[/tex3]
Fórmula das Raízes de Segundo Grau e Análise da Inequação
Aplicando a fórmula temos:
[tex3]y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2\cdot a}[/tex3]
[tex3]y=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{5\pm\sqrt{9}}8[/tex3]
[tex3]y=\frac{5\pm3}8[/tex3]
[tex3]\cases{y_1=1\\y_2=\frac14}[/tex3]
Antes de convertemos para [tex3]x[/tex3] , façamos a análise. Queremos saber quando esse valor é negativo, considerando que o coeficiente [tex3]a[/tex3] é positivo, o valor só é negativo entre as raízes, logo, a resposta é:
[tex3]\frac14< y<1[/tex3]
Agora sim, voltando a substituição e aplicando modificações:
[tex3]\frac14< 2^x<1[/tex3]
[tex3]2^{-2}< 2^x<2^0[/tex3]
[tex3]\boxed{-2< x<0}[/tex3]
Portanto: [tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\{\varnothing\}}[/tex3]
Discutindo o Erro do Gab
O problema aqui é a afirmação do enunciado, ele afirma que os termos são positivos. Se nós consideramos que [tex3]x<0[/tex3] , então há uma mudança aqui:
[tex3]4{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-2x}<5\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-x}[/tex3]
[tex3]4+2^{-2x}{\color{Red}~>~}5\cdot2^{-x}[/tex3]
Isso levaria o final de que:
[tex3]\cases{x<-2\\x>0}[/tex3]
Mas como afirmamos, nesse caso, que [tex3]x<0[/tex3] , então restaria apenas:
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x<-2}[/tex3]
Ou seja, se afirmamos (como no enunciado) que os termos são positivos, então não há uma solução. Entretanto, se afirmamos que os termos são negativos (o que não é feito no enunciado), então chegamos em [tex3]x<-2[/tex3] .
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
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