Pré-Vestibular(Mackenzie) Progressão Geométrica Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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brunocbbc
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(Mackenzie) Progressão Geométrica

Mensagem não lida por brunocbbc »

(Mackenzie) Se (x, y, z) é uma seqüência
geométrica de termos positivos e razão [tex3]2^{-x}[/tex3] , tal que 4x
+ z < 5y, então:
Resposta

-2 < x < 0




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LostWalker
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Jul 2022 01 01:01

Re: (Mackenzie) Progressão Geométrica

Mensagem não lida por LostWalker »

Introdução
Inicialmente, há um erro no gabarito, segundo o próprio enunciado, [tex3]x[/tex3] é positivo, assim, a alternativa não faz sentido. De todo modo, veja que a razão está em função de [tex3]x[/tex3] , então vamos passar tudo para função de [tex3]x[/tex3] . Por sabemos que é um PG, podemos dizer que:

[tex3]\cases{x=x\\y=x\cdot2^{-x}\\z=x\cdot2^{-2x}}[/tex3]




Lidando com a Inequação
Vamos substituir os valores que temos:

[tex3]4x+{\color{PineGreen}z}<5{\color{Purple}y}[/tex3]

[tex3]4x+{\color{PineGreen}x\cdot2^{-2x}}<5\cdot{\color{Purple}x\cdot2^{-x}}[/tex3]


Como sabemos que [tex3]x>0[/tex3] pelo enunciado, podemos dividir a conta dos dois lados sem nos preocuparmos com a inequação:

[tex3]4{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-2x}<5\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-x}[/tex3]

[tex3]4+2^{-2x}<5\cdot2^{-x}[/tex3]


Para deixar a potência positiva:

[tex3]4+\frac1{2^{2x}}<\frac5{2^x}[/tex3]


Multiplicando tudo por [tex3]2^{2x}[/tex3] e novamente sem nos preocuparmos já que esse número é positivo, temos:

[tex3]4\cdot2^{2x}+1<5\cdot2^x[/tex3]


Agora, aplicamos uma transformação [tex3]2^{2x}=\(2^x\)^2[/tex3]

[tex3]4\cdot\(2^x\)^2-5\cdot2^x+1<0[/tex3]


E fazemos uma substituição, [tex3]2^x=y[/tex3]

[tex3]4\cdot\({\color{NavyBlue}2^x}\)^2-5\cdot{\color{NavyBlue}2^x}+1<0[/tex3]

[tex3]4\cdot{\color{NavyBlue}y}^2-5\cdot{\color{NavyBlue}y}+1<0[/tex3]




Fórmula das Raízes de Segundo Grau e Análise da Inequação
Aplicando a fórmula temos:

[tex3]y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2\cdot a}[/tex3]

[tex3]y=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4}[/tex3]

[tex3]y=\frac{5\pm\sqrt{9}}8[/tex3]

[tex3]y=\frac{5\pm3}8[/tex3]

[tex3]\cases{y_1=1\\y_2=\frac14}[/tex3]


Antes de convertemos para [tex3]x[/tex3] , façamos a análise. Queremos saber quando esse valor é negativo, considerando que o coeficiente [tex3]a[/tex3] é positivo, o valor só é negativo entre as raízes, logo, a resposta é:

[tex3]\frac14< y<1[/tex3]


Agora sim, voltando a substituição e aplicando modificações:

[tex3]\frac14< 2^x<1[/tex3]

[tex3]2^{-2}< 2^x<2^0[/tex3]

[tex3]\boxed{-2< x<0}[/tex3]


Portanto: [tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\{\varnothing\}}[/tex3]




Discutindo o Erro do Gab
O problema aqui é a afirmação do enunciado, ele afirma que os termos são positivos. Se nós consideramos que [tex3]x<0[/tex3] , então há uma mudança aqui:

[tex3]4{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-2x}<5\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}\cdot2^{-x}[/tex3]

[tex3]4+2^{-2x}{\color{Red}~>~}5\cdot2^{-x}[/tex3]


Isso levaria o final de que:

[tex3]\cases{x<-2\\x>0}[/tex3]


Mas como afirmamos, nesse caso, que [tex3]x<0[/tex3] , então restaria apenas:

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x<-2}[/tex3]


Ou seja, se afirmamos (como no enunciado) que os termos são positivos, então não há uma solução. Entretanto, se afirmamos que os termos são negativos (o que não é feito no enunciado), então chegamos em [tex3]x<-2[/tex3] .



"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly

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