Pré-Vestibular ⇒ (UNCISAL) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[dudaox]

Todo conjunto de elementos numerados ou não em certa ordem é chamado de sequência ou sucessão. Na Matemática, é fundamental o estudo de sequências numéricas. Sobre esse assunto, analise as assertivas e assinale a alternativa que aponta as corretas.


I. A equação [tex3]x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{4}+...=6−4x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{4}+...=6−4x[/tex3]

tem por conjunto solução S = {1, 3}.

II. Existe uma P.G que admite 16, 24 e 54 como termos não consecutivos.

III. Na sequência (2, 6, 12, 20, 30, ...), o termo de ordem 200 é dado por 40 200.

IV. Existe uma P.G que admite 1, 2 e 5 como termos.

Resposta

---

RESPOSTA: II E III

Alguém poderia me explicar todas as alternativas ?

[dudaox]

Alguém poderia ajudar ?

[petras]

dudaox,

[tex3]\mathsf
(I)
S=\frac{a_1}{1-q}(0 < q < 1) \implies S = \frac{x}{1-\frac{x}{2}}=6x-4 \therefore x^2-4x+3=0\\
x= 1\implies q = \frac{1}{2}\checkmark: \cancel{x=3\implies q=\frac{3}{2} >1}\\

{II) \\
Sendo ~a_1=16\\16=16.q^{n-1}\\
24 = 16.q^{m-1}\implies q^{m-1} =\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^2 \\
54 = 16.q^{p-1}\implies q^{p-1} = \frac{3}{2}^3 \\
Sendo ~q = \frac{3}{2} \implies \\
p-1 = 3 \therefore p =4, \\m-1 = 2 \therefore m=3\\
n-1=0 \therefore n=1\\
\boxed{a_n=16.\frac{3}{2}^{(n-1)}}\color{green}\checkmark\\
n = 1 \implies a_1 =16\\
n=2 \implies a_2 = 16.\frac{3}{2} = 24\\
n=3 \implies a_3 = 16.\frac{9}{4} = 36\\
n=4 \implies a_4 = 16.\frac{27}{8} = 54\\

III)\\
(2,6,12,20,30...) \implies (6-2, 12-6, 20-12, 30-20..) = (4, 6,8,10...) PA 2^a ordem\\
a_n=a_{1(1^a ordem)}+S_{n-1(2^a ordem)}\\
a_{(n-1=199)} = 4+(199-1)2 = 400\\
S_{199}=\frac{(4+400).199}{2} = 40198\\
\therefore a_{200} =2+40198 = 40400\color{green}\checkmark \\

(IV)\\
a_n=r^n:2=r^n :5=r^m ,m \geq 1\\
Sendo: r=2^{\frac{1}{n}} ~em~ 5=r^m\implies 5=2^{\frac{m}{n}} :(elevando~ n)\implies 5^n=2^m, \cancel{\exists}(par\neq ímpar) \\

}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf
(I)
S=\frac{a_1}{1-q}(0 < q < 1) \implies S = \frac{x}{1-\frac{x}{2}}=6x-4 \therefore x^2-4x+3=0\\
x= 1\implies q = \frac{1}{2}\checkmark: \cancel{x=3\implies q=\frac{3}{2} >1}\\

{II) \\
Sendo ~a_1=16\\16=16.q^{n-1}\\
24 = 16.q^{m-1}\implies q^{m-1} =\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^2 \\
54 = 16.q^{p-1}\implies q^{p-1} = \frac{3}{2}^3 \\
Sendo ~q = \frac{3}{2} \implies \\
p-1 = 3 \therefore p =4, \\m-1 = 2 \therefore m=3\\
n-1=0 \therefore n=1\\
\boxed{a_n=16.\frac{3}{2}^{(n-1)}}\color{green}\checkmark\\
n = 1 \implies a_1 =16\\
n=2 \implies a_2 = 16.\frac{3}{2} = 24\\
n=3 \implies a_3 = 16.\frac{9}{4} = 36\\
n=4 \implies a_4 = 16.\frac{27}{8} = 54\\

III)\\
(2,6,12,20,30...) \implies (6-2, 12-6, 20-12, 30-20..) = (4, 6,8,10...) PA 2^a ordem\\
a_n=a_{1(1^a ordem)}+S_{n-1(2^a ordem)}\\
a_{(n-1=199)} = 4+(199-1)2 = 400\\
S_{199}=\frac{(4+400).199}{2} = 40198\\
\therefore a_{200} =2+40198 = 40400\color{green}\checkmark \\

(IV)\\
a_n=r^n:2=r^n :5=r^m ,m \geq 1\\
Sendo: r=2^{\frac{1}{n}} ~em~ 5=r^m\implies 5=2^{\frac{m}{n}} :(elevando~ n)\implies 5^n=2^m, \cancel{\exists}(par\neq ímpar) \\

}
[/tex3]

[dudaox]

Como você conseguiu chegar em x^2-4x+3 na I ? Não consegui entender a primeira sentença. Na II, porque ficou a razão 9/4, e não 3/2 ? Na III houve um erro de digitação, sendo o valor 40200.

[petras]

dudaox,

Houve erro de digitação em alguns itens
O correto seria [tex3]\frac{x}{1-\frac{x}{2}}=6-4x \implies x^2-4x+3\\
24 = 16.q^{m-1}\implies q^{m-1} =\frac{3}{2} \\
54 = 16.q^{p-1}\implies q^{p-1} =\frac{27}{8}= (\frac{3}{2})^3\\
m-1 = 1 \therefore m = 2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{1-\frac{x}{2}}=6-4x \implies x^2-4x+3\\
24 = 16.q^{m-1}\implies q^{m-1} =\frac{3}{2} \\
54 = 16.q^{p-1}\implies q^{p-1} =\frac{27}{8}= (\frac{3}{2})^3\\
m-1 = 1 \therefore m = 2 [/tex3]

Na primeira temos uma soma de PG infinita

[dudaox]

Perfeito. Muito obrigada!