Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **nicbln** » 27 Jan 2022, 22:01 · Mensagem não lida por **nicbln** » 27 Jan 2022, 22:01

Considerando os gráficos dos polinômios 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥³ + 𝑏𝑥² + 𝑐𝑥 + 𝑑 e ℎ(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛, representados
a seguir, é correto afirmar que:

: Captura de tela 2022-01-27 215011.png (28.09 KiB) Exibido 634 vezes

01. o polinômio 𝑝 pode ser expresso por 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3).
02. o resto da divisão do polinômio 𝑝 por [tex3]x^2 \over 4[/tex3] -x + [tex3]3 \over4
[/tex3] é zero.
04. o polinômio ℎ pode ser expresso por ℎ(𝑥) = −𝑥 + 2.
08. se o resultado da soma 𝑝(𝑥) + ℎ(𝑥) é 𝑞(𝑥), então o polinômio 𝑞 tem grau 3 e seu termo
independente é 5.
16. 𝑝(−3) = −12.
32. o polinômio 𝑝 é crescente para 𝑥 ∈ (−∞, −1)𝑈(1, +∞).
64. a área do triângulo que possui como vértices os pontos 𝐴, 𝐵 e a origem do sistema de
coordenadas cartesianas é igual a 3 unidades de área.

Resposta

90

Mensagem não lidapor **deOliveira** » 28 Jan 2022, 09:07 · Mensagem não lida por **deOliveira** » 28 Jan 2022, 09:07

Pelo gráfico, temos que as raízes de [tex3]p[/tex3] são [tex3]-2[/tex3] , [tex3]1[/tex3] e [tex3]3[/tex3] . Daí, [tex3]p(x)=r(x+2)(x-1)(x-3)[/tex3] .
[tex3]A=(2,-2)[/tex3] é ponto de [tex3]p\implies p(2)=-2=r(2+2)(2-1)(2-3)=-4r\implies r=\frac{-2}{-4}=\frac12[/tex3] .
Portanto, [tex3]p(x)=\frac12(x+2)(x-1)(x-3)[/tex3] .

Pelo gráfico, também temos que o coeficiente linear de [tex3]h[/tex3] é [tex3]n=2[/tex3] , então [tex3]h(x)=mx+2[/tex3] .
[tex3]A=(2,-2)[/tex3] é ponto de [tex3]h\implies h(2)=-2=2m+2\implies-4=2m\implies m=-\frac12[/tex3] .
Portanto, [tex3]h(x)=-\frac x2+2[/tex3]

Vamos analisar as afirmações:

01. Como visto, [tex3]p(x)=\frac12(x+2)(x-1)(x-3)[/tex3] , logo, 01 é falsa.
Outra alternativa é checar que se [tex3]p(x)=(x+2)(x-1)(x-3)[/tex3] não teríamos que [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são pontos de [tex3]p[/tex3] .

02. [tex3]\frac{x^2}4-x+\frac34=\frac14(x^2-4x+3)=\frac14(x-1)(x-3)\\
\implies p(x)=2(x+2)\[\frac14(x-1)(x-3)\][/tex3]
Portanto, o resto da divisão de [tex3]p[/tex3] por [tex3]\frac{x^2}4-x+\frac34[/tex3] é zero, logo, 02 é verdadeira.

04. Como vimos, [tex3]h(x)=-\frac x2+2[/tex3] , logo, 04 é falsa.
Outra alternativa é verificar que [tex3]1[/tex3] não é raiz de [tex3]-2x+2[/tex3] e pelo gráfico [tex3]1[/tex3] é raiz de [tex3]h[/tex3] .

08. [tex3]q(x)=p(x)+h(x)[/tex3] como estamos somando um polinômio de grau 3 com um polinômio de grau 2 o grau de [tex3]q[/tex3] será também [tex3]3[/tex3] .
Agora, o termos independente de [tex3]q[/tex3] é [tex3]q(0)=p(0)+h(0)=\frac12(2)(-1)(-3)+2=3+2=5[/tex3] .
Portanto, 08 é verdadeira.

16. [tex3]p(-3)=\frac12(-3+2)(-3-1)(-3-3)=\frac12(-1)(-4)(-6)=-12[/tex3] .
Portanto, 16 é verdadeira.

32. Pelo gráfico, temos que [tex3]p[/tex3] decresce para [tex3]x\in(1,2)[/tex3] .
Portanto, 32 é falsa.

64. [tex3]A=(2,-2);\ B=(-1,4);\ O=(0,0)\\
2A_{\triangle_{ABO}}=\det\begin{pmatrix}2&-2&1\\-1&4&1\\0&0&1\end{pmatrix} \\
2A_{\triangle_{ABO}}=6\\
A_{\triangle_{ABO}}=3[/tex3]
Portanto, 64 é verdadeira.

Então a soma é [tex3]2+8+16+64=90[/tex3] .

Espero ter ajudado.

Pré-Vestibular ⇒ UFSC 2020 Polinômios Tópico resolvido

UFSC 2020 Polinômios

Re: UFSC 2020 Polinômios

Pré-Vestibular ⇒ UFSC 2020 Polinômios Tópico resolvido

UFSC 2020 Polinômios

Re: UFSC 2020 Polinômios

Entrar | Registrar