deOliveira escreveu: ↑Qui 13 Jan, 2022 12:25
01)
[tex3]O[/tex3]
é o ponto médio de [tex3]AB[/tex3]
, logo, [tex3]O=\(\frac{1+3}2,\frac{2\sqrt3+2+\sqrt3}2\)=(2,2)[/tex3]
.
Dessa forma temos que o raio da circunferência é [tex3]r=OC=\sqrt{(2-4)^2+(2-2)^2}=2[/tex3]
.
Calculando [tex3]BC=\sqrt{(3-4)^2+(2+\sqrt3-2)^2}=2[/tex3]
.
Portanto o triângulo [tex3]BOC[/tex3]
é equilátero, daí o angulo [tex3]B\hat OC=60°[/tex3]
.
A área hachurada é a soma da área do setor circular de [tex3]60°[/tex3]
com a área do triângulo [tex3]AOC[/tex3]
.
A altura de [tex3]AOC[/tex3]
com relação à base [tex3]OC[/tex3]
é [tex3]h=2-(2-\sqrt3)=\sqrt3[/tex3]
.
Então:
[tex3]Area=Triangulo+Setor\\
Area=\frac{2\sqrt3}2+\frac{\pi2^2*60}{360}\\
Area=\sqrt3+\frac{2\pi}3\\
Area=\frac{2\pi+3\sqrt3}3[/tex3]
Portanto, 01 está
correta.
02)
O coeficiente angular de r é [tex3]m_r=\frac{2-1}{2-(2-\sqrt3)}=\frac1{\sqrt3}[/tex3]
.
A reta que queremos é perpendicular à r, logo seu coeficiente angular [tex3]m[/tex3]
é tal que [tex3]mm_r=-1\implies m=-\frac1{m_r}=-\sqrt3[/tex3]
.
Como a reta passa pela origem do sistema temos que seu coeficiente linear e nulo. Portanto a reta tem equação [tex3]y=-\sqrt3x[/tex3]
e equação geral [tex3]y+\sqrt3x=0[/tex3]
.
Portanto, 02 está
correta.
Há chance do gabarito estar incorreto?
04)
O coeficiente angular de s é [tex3]m_s=\frac{1-4}{2-\sqrt3-2}=\sqrt3[/tex3]
.
Então [tex3]s: y=\sqrt3x+n[/tex3]
.
Como [tex3]A=(1,2-\sqrt3)\in s[/tex3]
, temos que [tex3]2-\sqrt3=\sqrt3+n\implies n=2-2\sqrt3[/tex3]
.
Portanto, s corta o eixo das ordenadas no ponto em que [tex3]y=2-2\sqrt3[/tex3]
Portanto, 04 está
incorreta.
08)
Pelo que foi feito anteriormente, temos que a circunferência tem raio [tex3]2[/tex3]
e centro [tex3](2,2)[/tex3]
.
Então sua equação é [tex3](x-2)^2+(y-2)^2=2^2[/tex3]
, dái sua equação geral é [tex3]x^2+y^2-4x-4y+4=0[/tex3]
.
Alternativamente, podemos verificar que [tex3]C=(4,2)[/tex3]
não satisfaz [tex3]x^2+y^2-6x-6y+9=0
[/tex3]
. De fato, [tex3]4^2+2^2-6*4-6*2+9=-7[/tex3]
.
Portanto, 08 está
incorreta.
16)
[tex3]D[/tex3]
é um ponto que pertence ao eixo das abscissas, logo [tex3]D=(d,0)[/tex3]
para algum [tex3]d\in\mathbb R[/tex3]
.
Por [tex3]D[/tex3]
ser a projeção ortogonal de [tex3]C[/tex3]
sobre o eixo x, temos que a abscissa de [tex3]D[/tex3]
é igual a abscissa de [tex3]C[/tex3]
, logo [tex3]d=4[/tex3]
.
Portanto [tex3]D=(4,0)[/tex3]
.
Portanto, 16 está
correta.
Espero ter ajudado.
