Pré-VestibularFGV-RJ Análise combinatória Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
jedibli
1 - Trainee
Mensagens: 53
Registrado em: Qui 02 Jul, 2020 11:14
Última visita: 08-08-23
Jan 2022 06 14:50

FGV-RJ Análise combinatória

Mensagem não lida por jedibli »

Considere os cinco pares de vogais, minúsculas-maiúsculas, a, A, e, E, i, I, o, O, u, U.
Deseja-se escrever essas dez letras em sequência de modo que cada vogal minúscula esteja em uma posição que fique à esquerda da posição da vogal maiúscula correspondente.
Por exemplo, o, i, a, O, u, e, E, U, I, A é uma das maneiras de escrevê-las.

O total de maneiras diferentes de escrevê-las, conforme descrito, é

a)5!

b)10!/5!5!

c)10!/2!5!

d)10!/5!

e)10!/2!5

Não entendi como chegar na resposta, me ajudem por favor!!
Resposta

gabarito: E




Avatar do usuário
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 588
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 16-02-24
Localização: Osasco-SP
Jan 2022 06 18:24

Re: FGV-RJ Análise combinatória

Mensagem não lida por joaopcarv »

jedibli, vamos considerar [tex3]\mathsf{10}[/tex3] espaços para alocarmos as letras. Cada par de letras maiúscula-minúscula será colocado um por um de modo que tenhamos a regra pedida, de termos a maiúscula sempre após a minúscula.


Então, começaremos pelo par [tex3]\mathsf{(a,A):}[/tex3]

Escolhemos [tex3]\mathsf{2}[/tex3] de [tex3]\mathsf{10}[/tex3] lugares para esse par, e então colocamos as letras nos [tex3]\mathsf{2}[/tex3] lugares selecionados, respeitando a regra da maíscula vir após a minúscula. Por exemplo, os lugares escolhidos foram [tex3]\mathsf{3}[/tex3] e [tex3]\mathsf{7}[/tex3] , colocamos [tex3]\mathsf{a}[/tex3] em [tex3]\mathsf{3}[/tex3] e [tex3]\mathsf{A}[/tex3] em [tex3]\mathsf{7}[/tex3] . Então temos [tex3]\mathsf{C_{(10,2)}.}[/tex3]

Par [tex3]\mathsf{(b,B):}[/tex3] Escolhemos [tex3]\mathsf{2}[/tex3] de [tex3]\mathsf{8}[/tex3] lugares restantes para esse par, e colocamos [tex3]\mathsf{b}[/tex3] no mais à esquerda e [tex3]\mathsf{B}[/tex3] no mais à direita. Então temos [tex3]\mathsf{C_{(8,2)}.}[/tex3]


E o processo se repete... par [tex3]\mathsf{(c,C): \ C_{(6,2)}}[/tex3] , par [tex3]\mathsf{(d,D): \ C_{(4,2)}}[/tex3] , par par [tex3]\mathsf{(e,E): \ C_{(2,2)}}[/tex3] .

No final, teremos feito [tex3]\mathsf{C_{(10,2)} \cdot C_{(8,2)} \cdot C_{(6,2)} \cdot C_{(4,2)} \cdot C_{(2,2)}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{= \ \dfrac{10!}{\cancel{8!} \cdot 2!} \cdot \dfrac{\cancel{8!}}{\cancel{6!} \cdot 2!} \cdot \dfrac{\cancel{6!}}{\cancel{4!} \cdot 2!} \cdot \dfrac{\cancel{4!}}{\cancel{2!} \cdot 2!} \cdot \dfrac{\cancel{2!}}{0! \cdot 2!}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{= \ \dfrac{10!}{2!^5}}}[/tex3]



That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.

"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"

Poli-USP

Avatar do usuário
Autor do Tópico
jedibli
1 - Trainee
Mensagens: 53
Registrado em: Qui 02 Jul, 2020 11:14
Última visita: 08-08-23
Jan 2022 06 19:35

Re: FGV-RJ Análise combinatória

Mensagem não lida por jedibli »

joaopcarv oie!
Não entendi o porquê de você ter usado combinação já que a ordem dos fatores influencia, confundo muito quando eu devo usar arranjo, combinação e permutação.
Muito obrigada! A resolução está ótima tirando minha confusão



Avatar do usuário
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 588
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 16-02-24
Localização: Osasco-SP
Jan 2022 06 19:52

Re: FGV-RJ Análise combinatória

Mensagem não lida por joaopcarv »

Então, aqui há um detalhe sutil. Vamos escolher os lugares por combinação, porque assim não nos importaremos com a ordem de escolha. Por exemplo, para o primeiro par, são tomados os lugares [tex3]\mathsf{2}[/tex3] e [tex3]\mathsf{5}[/tex3] . Aqui, não importa se escolhemos primeiro o lugar [tex3]\mathsf{2}[/tex3] ou o lugar [tex3]\mathsf{5}[/tex3] , daí a combinação. Feito isso, vamos colocar a letra [tex3]\mathsf{a}[/tex3] no lugar mais à esquerda e a letra [tex3]\mathsf{A}[/tex3] no lugar mais à direita. Esse processo não acarreta efeito combinatório algum, estamos simplesmente escrevendo as letras nos lugares designados conforme a regra.

Ou seja, sempre que estivermos escolhendo lugares para cada dupla, não importa se escolhermos primeiro [tex3]\mathsf{2}[/tex3] depois [tex3]\mathsf{7}[/tex3] ou [tex3]\mathsf{7}[/tex3] e depois [tex3]\mathsf{2}[/tex3] . Simplesmente escolhemos dois lugares, daí fazemos a atribuição designada pela regra. Não sei se deu para entender, mas pense que, quando você está escolhendo os lugares, você está simplesmente pegando duplas de lugares. Daí você coloca as letras na ordem certa (sem ocasionar um efeito combinatório nisso, já que uma ordem fixada).

Última edição: joaopcarv (Qui 06 Jan, 2022 20:25). Total de 1 vez.


That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.

"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"

Poli-USP

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Pré-Vestibular”