nina escreveu: ↑Ter 28 Dez, 2021 20:54
Provavelmente é a pergunta mais boba já lançada no fórum mas...
Nunca se preocupe com questionamentos desse tipo, todas as dúvidas são válidas!
nina escreveu: ↑Ter 28 Dez, 2021 20:54
No caso eu queria saber por que é incorreto tentar deduzir que "a" será o tanto que o gráfico "abaixou" com base no ponto que o gráfico cruza o eixo das ordenadas? Por exemplo, se na função 2x2x
O que acontece aqui é o seguinte: você está quase correta, mas o ponto em que a função [tex3]\mathsf{f(x) \ = \ a \ + \ 2^{b\cdot x \ + \ c}}[/tex3]
cruza o eixo das ordenadas é [tex3]\mathsf{f(0) \ = \ a \ + \ 2^c.}[/tex3]
Das informações dadas, temos então:
[tex3]\mathsf{-\dfrac{3}{4} \ = \ a \ + \ 2^c.}[/tex3]
Não temos o valor de [tex3]\mathsf{2^c}[/tex3]
, logo nada podemos concluir por enquanto.
Para você enxergar isso melhor, vamos reescrever a função:
[tex3]\mathsf{f(x) \ = \ a \ + \ 2^{b\cdot x} \cdot 2^c.}[/tex3]
Chamando [tex3]\mathsf{2^c \ = \ k:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{f(x) \ = \ a \ + \ k \cdot 2^{b\cdot x.} \ \therefore \ f(0) \ = \ a \ + \ k \ = -\dfrac{3}{4}; \ a \ = \ ?, \ k \ = \ ?.}[/tex3]
Perceba que há um deslocamento vertical e um deslocamento modular da função exponencial "padrão", e não podemos inferir quais são esses deslocamentos simplesmente por [tex3]\mathsf{f(0).}[/tex3]
Em outras palavras, temos [tex3]\mathsf{a \ + \ k \ = \ -\dfrac{3}{4},}[/tex3]
mas não conseguimos ter os valores de cada parcela dessa soma simplesmente por isso.
nina escreveu: ↑Ter 28 Dez, 2021 20:54
Por exemplo, se na função 2x2x o ponto de cruzamento é o (0,1) e nessa nova função é (0,-3/4), por que "a" não poderia ser -(1+3/4) = -7/4?
Não podemos inferir o valor de [tex3]\mathsf{a}[/tex3]
assim por não termos [tex3]\mathsf{k \ = \ 2^c.}[/tex3]
Simplesmente por isso.
A informação que complementa o que temos e que faz com que consigamos sair do lugar é justamente a informação da assíntota.
A função "explode" ao infinito em sua imagem, de forma que temos [tex3]\mathsf{b \ > \ 0 \ \therefore \ f(\infty) \ = \ a \ + \ \cancelto{\infty}{2^{b \cdot \infty \ + \ c} \ = \ \infty.}}[/tex3]
(de forma bastante não rigorosa).
Então, por outro lado, quanto mais aproximarmos de [tex3]\mathsf{-\infty}[/tex3]
, mais a parcela [tex3]\mathsf{2^{b \cdot x \ + \ c}}[/tex3]
tende a [tex3]\mathsf{0}[/tex3]
, tendo que, assintoticamente:
[tex3]\mathsf{f(-\infty) \ = \ a \ + \ \cancelto{0}{2^{b \cdot -\infty \ + \ c}} \ = \ a.}[/tex3]
(também de forma não rigorosa, mas enfim)
Ou seja, assintoticamente, a função se aproxima de [tex3]\mathsf{f(-\infty) \ = \ a}[/tex3]
, que é o menor valor de imagem. Como é um valor assintótico, nunca é de fato alcançado, sendo portanto dado como chave aberta no intervalo da imagem.
[tex3]\mathsf{a \ = \ -1}[/tex3]
, que é o menor valor de imagem assintoticamente alcançado pela exponencial.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP