Pré-VestibularFuvest) função exponencial Tópico resolvido

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nina
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Fuvest) função exponencial

Mensagem não lida por nina »

Seja [tex3]f(x) = a + 2^{bx+c}[/tex3] em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semi reta ]-1; [tex3]\infty[ [/tex3] e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (0,1) e (0, -3/4). Então o produto abc vale:

a) 4
b) 2
c) 0
d) -2
e) -4
Resposta

a
Provavelmente é a pergunta mais boba já lançada no fórum mas...
No caso eu queria saber por que é incorreto tentar deduzir que "a" será o tanto que o gráfico "abaixou" com base no ponto que o gráfico cruza o eixo das ordenadas? Por exemplo, se na função [tex3]2^{x}[/tex3] o ponto de cruzamento é o (0,1) e nessa nova função é (0,-3/4), por que "a" não poderia ser -(1+3/4) = -7/4? :shock:
Por que eu só só é correto concluir que "a" é -1 com base na nova assíntota? Não sei se mina dúvida está clara, mas enfim estou realmente intrigada.
Desde já muito obrigada.




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joaopcarv
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Re: Fuvest) função exponencial

Mensagem não lida por joaopcarv »

nina escreveu:
Ter 28 Dez, 2021 20:54
Provavelmente é a pergunta mais boba já lançada no fórum mas...
Nunca se preocupe com questionamentos desse tipo, todas as dúvidas são válidas!
nina escreveu:
Ter 28 Dez, 2021 20:54
No caso eu queria saber por que é incorreto tentar deduzir que "a" será o tanto que o gráfico "abaixou" com base no ponto que o gráfico cruza o eixo das ordenadas? Por exemplo, se na função 2x2x
O que acontece aqui é o seguinte: você está quase correta, mas o ponto em que a função [tex3]\mathsf{f(x) \ = \ a \ + \ 2^{b\cdot x \ + \ c}}[/tex3] cruza o eixo das ordenadas é [tex3]\mathsf{f(0) \ = \ a \ + \ 2^c.}[/tex3] Das informações dadas, temos então:

[tex3]\mathsf{-\dfrac{3}{4} \ = \ a \ + \ 2^c.}[/tex3] Não temos o valor de [tex3]\mathsf{2^c}[/tex3] , logo nada podemos concluir por enquanto.

Para você enxergar isso melhor, vamos reescrever a função:

[tex3]\mathsf{f(x) \ = \ a \ + \ 2^{b\cdot x} \cdot 2^c.}[/tex3] Chamando [tex3]\mathsf{2^c \ = \ k:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{f(x) \ = \ a \ + \ k \cdot 2^{b\cdot x.} \ \therefore \ f(0) \ = \ a \ + \ k \ = -\dfrac{3}{4}; \ a \ = \ ?, \ k \ = \ ?.}[/tex3] Perceba que há um deslocamento vertical e um deslocamento modular da função exponencial "padrão", e não podemos inferir quais são esses deslocamentos simplesmente por [tex3]\mathsf{f(0).}[/tex3] Em outras palavras, temos [tex3]\mathsf{a \ + \ k \ = \ -\dfrac{3}{4},}[/tex3] mas não conseguimos ter os valores de cada parcela dessa soma simplesmente por isso.
nina escreveu:
Ter 28 Dez, 2021 20:54
Por exemplo, se na função 2x2x o ponto de cruzamento é o (0,1) e nessa nova função é (0,-3/4), por que "a" não poderia ser -(1+3/4) = -7/4?
Não podemos inferir o valor de [tex3]\mathsf{a}[/tex3] assim por não termos [tex3]\mathsf{k \ = \ 2^c.}[/tex3] Simplesmente por isso.

A informação que complementa o que temos e que faz com que consigamos sair do lugar é justamente a informação da assíntota.

A função "explode" ao infinito em sua imagem, de forma que temos [tex3]\mathsf{b \ > \ 0 \ \therefore \ f(\infty) \ = \ a \ + \ \cancelto{\infty}{2^{b \cdot \infty \ + \ c} \ = \ \infty.}}[/tex3] (de forma bastante não rigorosa).

Então, por outro lado, quanto mais aproximarmos de [tex3]\mathsf{-\infty}[/tex3] , mais a parcela [tex3]\mathsf{2^{b \cdot x \ + \ c}}[/tex3] tende a [tex3]\mathsf{0}[/tex3] , tendo que, assintoticamente:

[tex3]\mathsf{f(-\infty) \ = \ a \ + \ \cancelto{0}{2^{b \cdot -\infty \ + \ c}} \ = \ a.}[/tex3] (também de forma não rigorosa, mas enfim)

Ou seja, assintoticamente, a função se aproxima de [tex3]\mathsf{f(-\infty) \ = \ a}[/tex3] , que é o menor valor de imagem. Como é um valor assintótico, nunca é de fato alcançado, sendo portanto dado como chave aberta no intervalo da imagem.

[tex3]\mathsf{a \ = \ -1}[/tex3] , que é o menor valor de imagem assintoticamente alcançado pela exponencial.

Última edição: joaopcarv (Ter 28 Dez, 2021 21:45). Total de 3 vezes.


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joaopcarv
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Re: Fuvest) função exponencial

Mensagem não lida por joaopcarv »

Complementando:

[tex3]\mathsf{-\dfrac{3}{4} \ = \ \cancelto{-1}{a} \ + \ 2^c}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{4} \ = \ 2^c \ \therefore \ c \ = \ -2.}[/tex3]

[tex3]\mathsf{f(1) \ = \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{-1 \ + \ 2^{(b \cdot 1 \ - \ 2)} \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2^{(b \ - \ 2)} \ = 1 \ \therefore \ b \ = \ 2.}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{a\cdot b\cdot c \ = \ 4.}}[/tex3]


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Re: Fuvest) função exponencial

Mensagem não lida por nina »

Muitíssimo obrigada, ficou claro para mim a questão do deslocamento e sua resolução ficou simplesmente incrível. Eternamente grata! Essa parte final sobre a assíntota me ajudou a adquirir uma intuição melhor sobre f. exponencial, valeu mesmo João. Um abraço.



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Re: Fuvest) função exponencial

Mensagem não lida por joaopcarv »

Fico feliz em ajudar! Para complementar, aqui está um gráfico desta função:
funcao.jpg
funcao.jpg (21.43 KiB) Exibido 838 vezes



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