Seja f:ℝ⇒ℝ definida por f(x) = 10^x. Entre as funções seguintes, determine aquela(s) cujo gráfico não intersecta o gráfico de f. Explique:
a) y = 2x
b) y = - x
c) y = x^2 - 4x - 12
d) y = - x^2 - 3x - 5
e) y = (1/10)^x
f) y = - 2*|x|
g) y = x^2
Gabarito: d e f; observe que o conjunto imagem de f é o conjunto dos reais positivos. Para a função dada em d, não existe x pertencente aos reais tal que y seja maior que zero, o mesmo ocorrendo para a função dada em f.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Função Exponencial Tópico resolvido
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LostWalker
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Jan 2022
22
15:15
Re: Função Exponencial
Dinamismo
Pensando num cenário de vestibular, com sete equações para se tratar, dar um trabalho especial (igualar os dois gráficos) pode-se tomar muito tempo, então, pense que você apenas precisa encontrar alguma exemplo que prove alguma intersecção. Inicialmente, cogite o gráfico da função [tex3]f(x)[/tex3] a seguir:
Os pontos que daremos mais atenção é [tex3]f(0)=1,\,\,\,f(1)=10,\,\,\,f(2)=100[/tex3] . As que não possuem interseção estarão marcadas em azul.
Tomadas Imediatas
Perceba que, [tex3]\boxed{x<0\,\,\,\rightarrow \,\,\,0< f(x)<1}[/tex3] , ou seja, qualquer gráfico que possua algum valor [tex3]>1[/tex3] tendo um [tex3]x[/tex3] negativo e um valor [tex3]<100[/tex3] com um [tex3]x\geq 2[/tex3] , faz interseção com o gráfico.
b) [tex3]y=-x[/tex3]
Melhor exemplo do que dito acima.
c) [tex3]y = x^2-4x-12[/tex3]
Note que, para [tex3]x=0[/tex3] , [tex3]y=-12[/tex3] , já temos um valor que está abaixo do gráfico. Agora, perceba que, sendo uma parábola com concavidade para baixo, logo, [tex3]\boxed{x\rightarrow-\infty\,\,\,|\,\,\,y\rightarrow\infty}[/tex3] , indicando que há sim uma interseção em algum momento.
f) [tex3]-2|x|[/tex3]
Como temos [tex3]x[/tex3] em módulo, significa que [tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in\mathbb{Z}^+}[/tex3] e isso implica que:
[tex3]\boxed{|x|\in\mathbb{Z}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in\mathbb{Z}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in\mathbb{Z}^-}[/tex3]
Como sabemos, todos os valores [tex3]f(x)>0[/tex3]
Para [tex3]\boxed{x=0}[/tex3] e [tex3]\boxed{f(x)=1}[/tex3]
e) [tex3]\(\frac{1}{10}\)^x[/tex3]
Funções do tipo [tex3]a^x[/tex3] tem sempre que (para [tex3]a\neq0[/tex3] ): [tex3]\boxed{a^0=1}[/tex3] , logo, podemos descartar essa por [tex3]\boxed{{\color{Blue}\(\frac{1}{10}\)}^{\color{green}x}={\color{Blue}a}^{\color{green}x}}[/tex3]
g) [tex3]y=x^2[/tex3]
Por outro lado, sempre, também temos um caso especial aqui, é facilmente encontrável, que [tex3]\boxed{x=1\,\,|\,\, y=x^2=1}[/tex3] , e como dito acima, esse também é um valor de [tex3]f(x)[/tex3] .
Equações detalhadas
a) [tex3]y=2x[/tex3]
Note que, para [tex3]\boxed{x<0\,\,\,\rightarrow\,\,\,y<0}[/tex3] , sendo valores que estão obrigatoriamente abaixo de [tex3]f(x)[/tex3] , vamos agora situar 2 pontos:
[tex3]x=0[/tex3]
[tex3]f(x)=1[/tex3]
[tex3]2(0)=0[/tex3]
*[tex3]y[/tex3] está abaixo de [tex3]f(x)[/tex3]
[tex3]x=0.3[/tex3]
[tex3]f(x)\approx2[/tex3]
[tex3]2(0.3)=0.6[/tex3]
*[tex3]y[/tex3] ainda está abaixo abaixo de [tex3]f(x)[/tex3] . Tenha em mente que esse é um log conhecido. Veja que a distância entre os pontos já está aumentando, de modo que, [tex3]\boxed{\nexists \,x\,\,|\,\,f(x)=y}[/tex3] .
Nota: Apenas dizer "a distância entre os pontos já está aumentando" não sustenta, o que da o suporte à isso é que, para [tex3]\boxed{x=0.3}[/tex3] , temos que [tex3]\boxed{2(0.3)< f(1)}[/tex3] . Caso não fosse assim, não poderíamos afirmar a não intersecção.
d) [tex3]-x^2-3x-5[/tex3]
Ao menos eu, não sei dizer uma forma rápida de solucionar apenas a vendo, mas note que:
[tex3]\Delta= (-3)^2-4(-1)(-5)\\\Delta=9-20\\\Delta=-11\\\boxed{\Delta<0}[/tex3]
Ou seja, sendo ainda a concavidade da parábola para cima, e sendo o [tex3]\Delta<0[/tex3] , todos os valores dessa função são negativos, logo, não há interseção;
Pensando num cenário de vestibular, com sete equações para se tratar, dar um trabalho especial (igualar os dois gráficos) pode-se tomar muito tempo, então, pense que você apenas precisa encontrar alguma exemplo que prove alguma intersecção. Inicialmente, cogite o gráfico da função [tex3]f(x)[/tex3] a seguir:
- Gráfico exponêncial.png (12.31 KiB) Exibido 560 vezes
Os pontos que daremos mais atenção é [tex3]f(0)=1,\,\,\,f(1)=10,\,\,\,f(2)=100[/tex3] . As que não possuem interseção estarão marcadas em azul.
Tomadas Imediatas
Perceba que, [tex3]\boxed{x<0\,\,\,\rightarrow \,\,\,0< f(x)<1}[/tex3] , ou seja, qualquer gráfico que possua algum valor [tex3]>1[/tex3] tendo um [tex3]x[/tex3] negativo e um valor [tex3]<100[/tex3] com um [tex3]x\geq 2[/tex3] , faz interseção com o gráfico.
b) [tex3]y=-x[/tex3]
Melhor exemplo do que dito acima.
c) [tex3]y = x^2-4x-12[/tex3]
Note que, para [tex3]x=0[/tex3] , [tex3]y=-12[/tex3] , já temos um valor que está abaixo do gráfico. Agora, perceba que, sendo uma parábola com concavidade para baixo, logo, [tex3]\boxed{x\rightarrow-\infty\,\,\,|\,\,\,y\rightarrow\infty}[/tex3] , indicando que há sim uma interseção em algum momento.
f) [tex3]-2|x|[/tex3]
Como temos [tex3]x[/tex3] em módulo, significa que [tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in\mathbb{Z}^+}[/tex3] e isso implica que:
[tex3]\boxed{|x|\in\mathbb{Z}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in\mathbb{Z}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in\mathbb{Z}^-}[/tex3]
Como sabemos, todos os valores [tex3]f(x)>0[/tex3]
Para [tex3]\boxed{x=0}[/tex3] e [tex3]\boxed{f(x)=1}[/tex3]
e) [tex3]\(\frac{1}{10}\)^x[/tex3]
Funções do tipo [tex3]a^x[/tex3] tem sempre que (para [tex3]a\neq0[/tex3] ): [tex3]\boxed{a^0=1}[/tex3] , logo, podemos descartar essa por [tex3]\boxed{{\color{Blue}\(\frac{1}{10}\)}^{\color{green}x}={\color{Blue}a}^{\color{green}x}}[/tex3]
g) [tex3]y=x^2[/tex3]
Por outro lado, sempre, também temos um caso especial aqui, é facilmente encontrável, que [tex3]\boxed{x=1\,\,|\,\, y=x^2=1}[/tex3] , e como dito acima, esse também é um valor de [tex3]f(x)[/tex3] .
Equações detalhadas
a) [tex3]y=2x[/tex3]
Note que, para [tex3]\boxed{x<0\,\,\,\rightarrow\,\,\,y<0}[/tex3] , sendo valores que estão obrigatoriamente abaixo de [tex3]f(x)[/tex3] , vamos agora situar 2 pontos:
[tex3]x=0[/tex3]
[tex3]f(x)=1[/tex3]
[tex3]2(0)=0[/tex3]
*[tex3]y[/tex3] está abaixo de [tex3]f(x)[/tex3]
[tex3]x=0.3[/tex3]
[tex3]f(x)\approx2[/tex3]
[tex3]2(0.3)=0.6[/tex3]
*[tex3]y[/tex3] ainda está abaixo abaixo de [tex3]f(x)[/tex3] . Tenha em mente que esse é um log conhecido. Veja que a distância entre os pontos já está aumentando, de modo que, [tex3]\boxed{\nexists \,x\,\,|\,\,f(x)=y}[/tex3] .
Nota: Apenas dizer "a distância entre os pontos já está aumentando" não sustenta, o que da o suporte à isso é que, para [tex3]\boxed{x=0.3}[/tex3] , temos que [tex3]\boxed{2(0.3)< f(1)}[/tex3] . Caso não fosse assim, não poderíamos afirmar a não intersecção.
d) [tex3]-x^2-3x-5[/tex3]
Ao menos eu, não sei dizer uma forma rápida de solucionar apenas a vendo, mas note que:
[tex3]\Delta= (-3)^2-4(-1)(-5)\\\Delta=9-20\\\Delta=-11\\\boxed{\Delta<0}[/tex3]
Ou seja, sendo ainda a concavidade da parábola para cima, e sendo o [tex3]\Delta<0[/tex3] , todos os valores dessa função são negativos, logo, não há interseção;
Editado pela última vez por LostWalker em 22 Jan 2022, 15:30, em um total de 3 vezes.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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Jan 2022
23
15:24
Re: Função Exponencial
Errata
Em f), apenas acabei trocando o conjunto a que se pertence
[tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^-}[/tex3]
[tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in\mathbb{R}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in\mathbb{R}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in\mathbb{R}^-}[/tex3]
Em f), apenas acabei trocando o conjunto a que se pertence
[tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^-}[/tex3]
[tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in\mathbb{R}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in\mathbb{R}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in\mathbb{R}^-}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
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